Plan à l'échelle

Définition

Sur un plan à l'échelle les distances sont proportionnelles aux distances réelles.

L'échelle du plan est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des distances réelles aux distances sur le plan.

Exemples

Une carte routière de la Corse est à l'échelle \( 1\,/\,200\,000\)ème. On dit un deux-cent millièmes. Sur la carte, les distances sont deux-cent-mille fois plus petites que les distances réelles : multiplier par \(\dfrac{1}{200\,000}\) revient à diviser par \(200\,000\).

Le tableau de proportionnalité permet de passer des distances réelles aux distances sur la carte, exprimées dans la même unité.

distances réelles	\(2\,000\,000~\text{cm}\)	\(1\,000\,000~\text{cm}\)	\(200\,000~\text{cm}\)
distances sur la carte	\(10\,\text{cm}\)	\(5\,\text{cm}\)	\(1\,\text{cm}\)

Rappel:

• \(1\,\text{km}=1\,000\,\text{m}=100\,000\,\text{cm}\)
• \(1\,\text{cm} = \dfrac{1}{100}\,\text{m} = \dfrac{1}{100\,000}\,\text{km}\)

On exprime généralement les distances réelles en kilomètres et les distances sur la carte en centimètres. Comme \(200\,000\,\text{cm}=2\,\text{km},\) un centimètre sur la carte représente deux kilomètres dans la réalité à l'échelle \( 1~/~200\,000\) ème.

Méthode - de la réalité au plan:

Sur une carte à l'échelle 1/300 000ème, comment est représenté 60 km?

Pour résoudre cet exercice :

• Tu convertis la distance réelle en cm : \[ \begin{align} 60\,\text{km}&=60 \times (100\,000\,\text{cm})\\ &=6\,000\,000\,\text{cm}\\ \end{align} \]
• Tu multiplies la distance réelle par l'échelle : \[ \begin{align} 6\,000\,000\,\text{cm}\times \dfrac{1}{300\,000}&=\dfrac{6\,000\,000}{300\,000}\,\text{cm}\\ &=\dfrac{60}{3}\,\text{cm}=20\,\text{cm}\\ \end{align} \]

Méthode - du plan à la réalité:

Sur une carte à l'échelle 1/500 000ème, que représente 2 cm?

Pour résoudre cet exercice on fait l'opération inverse:

• Tu divises la distance sur le plan par l'échelle. Diviser par \(\dfrac{1}{500\,000}\) revient à multiplier par \(500\,000\): \[2\,\text{cm}\times 500\,000 = 1\,000\,000\,\text{cm}\]
• Tu convertis les cm en km: \[ \begin{align} 1\,000\,000\,\text{cm} &= 10 \times 100\,000\,\text{cm}\\ & = 10 \times ( 100\,000\,\text{cm})\\ &= 10\,\text{km}\\ \end{align} \]

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Question

Sur une carte à l'échelle 1/25 000ème, on mesure \(4\,\text{cm}\) entre une île et la côte. Quelle est la distance réelle entre l'île et la côte ? Complète la démonstration.

Démonstration: