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Les losanges


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Problèmes


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Pourcentages


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Exemples de leçons - Leçon 1 : Les fractions


Propriété

En multipliant le numérateur et le dénominateur d'une écriture fractionnaire \(\dfrac{a}{b}\) par un nombre \( c \) non nul on obtient une écriture fractionnaire qui lui est égale :

\[ \dfrac {a}{b} = \dfrac{a \times c }{ b \times c } \]

Exemples

  • \( \dfrac {2}{3} = \dfrac{2 \times 10}{3 \times 10} = \dfrac{20}{30} \)
  • \( \dfrac {0,\!1}{3} = \dfrac {0,\!1 \times 10 }{3 \times 10} = \dfrac {1}{30} \)
  • \( \dfrac {27}{9} = \dfrac{3\times 9}{1 \times 9} = \dfrac{3}{1} = 3 \)

\( 1 \) part d'un gâteau coupé en \( 4 \) parts égales est égale à \( 2 \) parts d'un gâteau coupé en \( 8 \) parts égales. On a bien : \( \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{2}{8} \).

Un quart égale deux huitièmes.

Attention

N'oublie pas que le nombre \( c \) doit être différent de zéro, sinon la propriété n'est pas valable.



Propriété

En divisant le numérateur et le dénominateur d'une écriture fractionnaire \(\dfrac{a}{b}\) par un nombre \( c \) non nul on obtient une écriture fractionnaire qui lui est égale :

\[ \dfrac{a \div c }{ b \div c } = \dfrac {a}{b} \]

Exemples

  • \( \dfrac {20}{30} = \dfrac{20 \div 10}{30 \div 10} = \dfrac{2}{3} \)
  • \( \dfrac {27}{9} = \dfrac{27 \div 9}{9 \div 9} = \dfrac{3}{1} = 1 \)
  • \( \dfrac {12}{8} = \dfrac {12 \div 4 }{8 \div 4} = \dfrac {3}{2} \)

Attention

N'oublie pas que le nombre \( c \) doit être différent de zéro, sinon la propriété n'est pas valable.



Méthodes

Il existe trois méthodes pour calculer la fraction \( \dfrac{a}{b} \) d'un nombre \( c \), c'est  à dire \( \dfrac{a}{b} \times c \) :

  • Méthode 1: en calculant d'abord la fraction, puis en multipliant par le nombre \( c \) : \[ \dfrac{a}{b} \times c = (a \div b) \times c \]
  • Méthode 2: en multipliant le numérateur \( a \) et le nombre  \( c \), puis en divisant par \( b \) : \[ \dfrac{a}{b} \times c = \dfrac { a \times c }{b} \]
  • Méthode 3: en calculant la fraction \( \dfrac{c}{b} \) puis en multipliant par  \( a \): \[ \dfrac{a}{b} \times c = a \times \dfrac {c}{b} \]

Avant de faire un calcul, il faut réfléchir pour trouver la méthode la plus simple à utiliser.

Exemples

Méthode 1 : \( \dfrac{3}{6} \times 7 = 0,\!5 \times 7 = 3,\!5 \). On calcule d'abord la fraction \( \dfrac{3}{6} = 0,\!5 \) puis on multiplie par \(7\).

Méthode 2 : \( \dfrac{10}{3} \times 0,\!6 = \dfrac{10 \times 0,\!6}{3} = \dfrac {6}{3} = 2 \). On calcule d'abord le produit \( 10 \times 0,\!6 = 6 \) puis on divise le résultat \( 6 \) par \(3\).

Méthode 3 : \( \dfrac{5}{7} \times 21 = 5 \times \dfrac{21}{7} = 5 \times 3 = 15 \). On calcule d'abord la fraction \( \dfrac{21}{7} = 3 \) puis on multiplie le résultat \( 3 \) par \(5\).

Choisir la bonne méthode

Les trois méthodes sont basées sur les égalités suivantes: \[ \dfrac{a}{b} \times c = \dfrac{ a \times c }{b} = a \times \dfrac{c}{b} \]

Pour choisir la bonne méthode

  • Tu écris les trois expressions \(\dfrac{a}{b} \times c = \dfrac{ a \times c }{b} = a \times \dfrac{c}{b},\)
  • Tu choisis l'expression avec la division la plus simple à calculer parmi \(\dfrac{a}{b}\), \(\dfrac{a\times c}{b}\) ou \( \dfrac{c}{b}.\)



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Exemples de leçons - Leçon 2 : Les segments


Définition

Un segment est une partie de droite limitée par deux points de cette droite.

On note \( \textsf{[AB]} \) ou \( \textsf{[BA]} \) le segment d'extrémités \( \textsf{A} \) et \( \textsf{B} \).

On note \( \textsf{AB} \) la longueur du segment \( \textsf{[AB]} \).

Attention

  • Ne confonds pas la longueur \( \textsf{AB} \) d'un segment (sans crochet), qui est un nombre avec le segment \( \textsf{[AB]} \), qui est une partie d'une droite.
  • Les points \( \textsf{A} \) et \( \textsf{B} \) appartiennent au segment \( \textsf{[AB]} \): \[ \begin{align} \textsf{A} &\in \textsf{[AB]} \\ \textsf{B} &\in \textsf{[AB]}\\ \end{align} \]


Définition

la longueur \( \textsf{AB} \) du segment \( \textsf{[AB]} \) est la mesure du segment. C'est un nombre.

Si deux segments \( \textsf{[AB]} \) et \( \textsf{[CD]} \) ont la même longueur, on écrit:

\[ \textsf{AB}=\textsf{CD} \]

Lorsque des segments ont la même longueur, on le code sur les segments avec des petites figures identiques : un, deux ou trois petits traits, un petit cercle.

Attention

Ne confonds pas la longueur \( \textsf{AB} \) d'un segment (sans crochet), qui est un nombre avec le segment \( \textsf{[AB]} \), qui est une partie d'une droite.



Définition

le milieu \( \text{I} \) du segment \( \textsf{[AB]} \) est l'unique point du segment \( \textsf{[AB]} \) qui vérifie \( \text{I}\textsf{A}=\text{I}\textsf{B} \).

Remarque

Un point est le milieu d'un segment s'il vérifie deux conditions:

  • Le point doit appartenir au segment
  • Le point est à égale distance des deux extrémités du segment

Par exemple, le point \( \textsf{C} \) du graphique ci-dessous est à égale distance de \( \textsf{A} \) et de \( \textsf{B} \), \( \textsf{CA} = \textsf{CB} \), mais il n'appartient pas au segment \( \textsf{[AB]} \), donc il n'est pas le milieu du segment \( \textsf{[AB]} \).




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Exemples de leçons - Leçon 3 : Comparer et arrondir


Définition - intercaler

Intercaler un nombre c'est trouver un nombre décimal entre deux décimaux, par exemple entre \(15,\!8\) et \(16,\!2\).
On peut intercaler une infinité de décimaux entre \(15,\!8\) et \(16,\!2\), toutes les abscisses des points tracés en rouge sur la demi-droite graduée:
\(16\) peut être intercalé entre \(15,\!8\) et \(16,\!2\). Mais aussi tous les nombres suivants: \( 15,\!9; 16,\!1; 15,\!91 ; 15,\!81; 15,\!801; 15,\!8001\)...

Définition - arrondi

  • L'arrondi à l'unité d'un décimal est l'entier le plus proche du décimal. L'arrondi de \(15,\!3\) est \(15\). L'arrondi de \(17,\!9\) est \(18.\)
  • L'arrondi au dixième d'un décimal est le nombre décimal à un chiffre le plus proche. L'arrondi au dixième de \(17,\!86\) est \(17,\!9\). L'arrondi au dixième de \(14,\!34\) est \(14,\!3.\)
  • L'arrondi au centième d'un décimal est le nombre décimal à deux chiffres le plus proche. L'arrondi au dixième de \(17,\!861\) est \(17,\!86\). L'arrondi au centième de \(14,\!347\) est \(14,\!35.\)

Lorsqu'un nombre est à distance égale de ses valeurs approchées par défaut et par excès, on prend par convention comme arrondi la valeur en excès. L'arrondi de \(17,\!5\) est \(18\). L'arrondi au dixième de \(18,\!65\) est \(18,\!7\).

Méthode de calcul

Pour trouver l'arrondi à l'unité tu regardes le chiffre des dixièmes:
  • Si le chiffre des dixièmes est \(0, 1, 2, 3\) ou \(4\) l'arrondi est la valeur approchée par défaut.
  • Si le chiffre des dixièmes est \(5, 6, 7, 8\) ou \(9\) l'arrondi est la valeur approchée par excès.
  • L'arrondi de \(9,\!483\) est \(9\) car le chiffre des dixièmes est \(4.\)
Pour trouver l'arrondi au dixième tu regardes le chiffre des centièmes:
  • Si le chiffre des centièmes est \(0, 1, 2, 3\) ou \(4\) l'arrondi est la valeur approchée au dixième par défaut.
  • Si le chiffre des centièmes est \(5, 6, 7, 8\) ou \(9\) l'arrondi est la valeur approchée au dixième par excès.
  • L'arrondi au dixième de \(9,\!483\) est \(9,\!5\) car le chiffre des centièmes est \(8.\)
Pour trouver l'arrondi au centième tu regardes le chiffre des millièmes:
  • Si le chiffre des millièmes est \(0, 1, 2, 3\) ou \(4\) l'arrondi est la valeur approchée au centième par défaut.
  • Si le chiffre des millièmes est \(5, 6, 7, 8\) ou \(9\) l'arrondi est la valeur approchée au centième par excès.
  • L'arrondi au centième de \(9,\!483\) est \(9,\!48\) car le chiffre des millièmes est \(3.\)


Ordre de grandeur

Pour évaluer rapidement le résultat d'une opération, ou pour vérifier un calcul:
  • On remplace chaque nombre décimal utilisé dans les calculs par son ordre de grandeur.
  • On fait de tête le calcul avec les ordres de grandeur.
  • On vérifie que le résultat obtenu avec les ordres de grandeur est proche du résultat avec les vrais nombres.

Pour évaluer rapidement la multiplication \(12,\!7 \times 48,\!8 \times 87\) on peut calculer \(10 \times 50 \times 100 \) de tête, en remplaçant \(12,\!7\), \(48,\!8\) et \(87\) par leur ordre de grandeur respectif \(10\), \(50\) et \(100\). Le calcul rapide donne \(50\,000\). Le résultat exacte de la multiplication doit être du même ordre de grandeur : \(53\,919,\!12\).

Choisir un ordre de grandeur

  • Tu prends comme ordre de grandeur l'arrondi à l'unité, à la dizaine, à la centaine...
  • Pour les nombres plus petits que \(10\) tu prends l'arrondi à l'unité ou \(10.\)
  • Pour les nombres entre \(10\) et \(50\) tu prends l'arrondi à la dizaine.
  • Pour les nombres entre \(50\) et \(100\) tu prends l'arrondi à la dizaine ou \(50\) ou \(100.\)
  • Pour les nombres entre \(100\) et \(1000\) tu prends l'arrondi à la centaine.

Exemples

  • L'ordre de grandeur de \(4,\!353\) est \(4\) (arrondi à l'unité).
  • L'ordre de grandeur de \(12,\!2\) est \(10\) (arrondi à la dizaine).
  • L'ordre de grandeur de \(289\) est \(300\) (arrondi à la centaine).
  • L'ordre de grandeur de \(1\,845\) est \(2\,000\) (arrondi au millier).
Il y a parfois plusieurs ordres de grandeur possibles : pour \(79,\!7\) tu peux prendre \(80\) (ordre de grandeur à la dizaine) ou \(100\) (ordre de grandeur à la centaine).


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Exemples de leçons - Leçon 4 : Les losanges


Définition

Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.

Les segments \( \textsf{[AB]}, \textsf{[BC]}, \textsf{[CD]}, \textsf{[DA]}\) ont la même longueur, donc le quadrilatère \( \textsf{ABCD}\) est un losange.

Propriétés

Si un quadrilatère est un losange:
  1. Ses diagonales sont perpendiculaires.
  2. Ses diagonales se coupent en leur milieu.
  3. Chaque diagonale est la médiatrice de l'autre.
  4. Ses diagonales sont ses deux axes de symétrie.
  5. Ses angles opposés sont égaux.

Remarque

Tu as cinq propriétés à retenir sur les losanges. Ces propriétés sont utilisées pour construire facilement des losanges et vérifier la précision des tracés.
Ne confonds pas les caractéristiques qui définissent un losange (ses quatre côtés ont même longueur) de ses cinq propriétés, qui se déduisent des caractéristiques du losange.

Propriété

Si un quadrilatère a :
  1. ses diagonales qui sont perpendiculaires,
  2. et ses diagonales qui se coupent en leur milieu.
alors ce quadrilatère est un losange.

Les deux diagonales du quadrilatère \( \textsf{ABCD} \) sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Le quadrilatère \( \textsf{ABCD}\) est donc un losange.

Remarque

Cette propriété est admise en 6ème. Elle permet de prouver qu'un quadrilatère a ses côtés de même longueur (la définition d'un losange) si ses diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu.

Attention

Il faut que les deux conditions soient respectées pour prouver que le quadrilatère est un losange.



Méthode 1

Les méthodes pour construire un losange utilisent les propriétés du losange. Elles dépendent des données de l'exercice.
Pour construire un losange à partir des longueurs des deux diagonales, on utilise la propriété : chaque diagonale d'un losange est la médiatrice de l'autre.

Énoncé de l'exercice

Construis au compas et à la règle graduée un losange \( \textsf{ABCD} \) tel que \( {\textsf{AC}}=6~\text{cm}\) et \(\textsf{BD}=3~\text{cm}\).

Méthode de résolution de l'exercice

Étape 1: tu traces sur ton brouillon le losange avec le codage des données de l'exercice. Ici \( \textsf{A, B, C}\) et \( \textsf{D}\) sont les quatre sommets successifs du losange, donc les données sont les longueurs des deux diagonales.
Étape 2: tu traces un segment horizontale \( \textsf{[AC]}\) de longueur 6 centimètres: c'est la première diagonale du losange.
Étape 3: tu traces au compas la médiatrice de la diagonale en joignant les deux intersections de deux cercles de même rayon de centres les extrémités de \(\textsf{[AC]}\): c'est la deuxième diagonale, médiatrice de la première.
Étape 4: Il ne reste plus qu'à mesurer sur la médiatrice la moitié de la longueur de la deuxième diagonale ( \(1,\!5\) centimètre) de part et d'autre du point d'intersection pour trouver les sommets \(\textsf{B}\) et \(\textsf{D}\). N'oublie pas de coder le losange : les côtés ont même longueur, les diagonales se coupent perpendiculairement au milieu.

Remarques

1) Quand tu as fini ta construction, vérifie toujours que ton losange a ses côtés de même longueur et ses diagonales perpendiculaires!
2) Pour tracer la médiatrice du segment, tu n'es pas obligé de tracer complètement les deux cercles : trace juste les arcs de cercles à l'endroit des intersections.
3) Attention à ne pas confondre les intersections des deux cercles et les deux sommets du losange!



Méthode 2

Les méthodes pour construire un losange utilisent les propriétés du losange et dépendent des données de l'exercice.
Pour construire un losange à partir de la longueur d'un côté et d'une diagonale, on utilise la définition : un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.

Énoncé de l'exercice

Construis un losange \( \textsf{ABCD} \) tel que \( {\textsf{AC}}=6~\text{cm}\) et \(\textsf{AB}=4~\text{cm}\).

Méthode de résolution de l'exercice

Étape 1: tu traces sur ton brouillon le losange avec le codage des données de l'exercice. Ici \( \textsf{A, B, C}\) et \( \textsf{D}\) sont les quatre sommets successifs du losange, donc les données sont la longueurs de la diagonale \(\textsf{[AC]}\) et la longueur du côté \( \textsf{[AB]}\). Comme tous les côtés d'un losange ont même longueur, on connait la longueur de tous les côtés!
Étape 2: tu traces un segment horizontale \( \textsf{[AC]}\) de longueur 6 centimètres: c'est la première diagonale du losange.
Étape 3: les quatre côtés ont tous la même longueur, donc la distance entre \(\textsf{A}\) et \(\textsf{B}\) et entre \(\textsf{C}\) et \(\textsf{B}\) est égale à \(4~\text{cm}\). Tu traces au compas deux cercles de rayon \(4~\text{cm}\) de centres \(\textsf{A}\) et \(\textsf{C}\). Les deux intersection des deux cercles te donnent les sommets \(\textsf{B}\) et \(\textsf{D}\).
Étape 4: il ne reste plus qu'à noter les sommets \(\textsf{B}\) et \(\textsf{D}\) aux deux intersections des cercles et à tracer les côtés du losange. N'oublie pas de coder ton losange : les côtés ont même longueur.

Remarque

Quand tu as fini ta construction, vérifie toujours que ton losange a ses côtés de même longueur et ses diagonales perpendiculaires!




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Exemples de leçons - Leçon 5 : Problèmes

Cette leçon contient des exercices et des problèmes pour t'apprendre à utiliser les méthodes de calcul vues dans les leçons précédentes.



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Exemples de leçons - Leçon 6 : Pourcentages


Définitions - pourcentage

Taux de pourcentage

Un taux de pourcentage est une écriture fractionnaire dont le dénominateur est 100. Il s'écrit avec le symbole % qui se lit "pour cent'" et qui remplace la barre de fraction et le dénominateur 100.
Par exemple:
  • \(50\% = \dfrac{50}{100}=0,\!5\)
  • \(3\% = \dfrac{3}{100}=0,\!03\)
  • \(8,\!5\% = \dfrac{8,\!5}{100}=0,\!085\)
Un pourcentage peut s'écrire avec le symbole "\(\%\)" ( comme \(9\%\)), sous son écriture fractionnaire (comme \(\dfrac{9}{100}\)) ou sous forme décimale (comme \(0,\!09\)).

Pourcentage d'une grandeur

Dire "30% des pommes de la récolte sont véreuses" indique que sur \(100\) pommes, \(30\) sont véreuses.
Dire "75% des sixièmes savent nager" indique que sur \(100\) élèves en sixième, \(75\) savent nager.

Calculer un pourcentage

Appliquer un pourcentage à une grandeur, c'est multiplier les valeurs de cette grandeur par le taux de pourcentage.
  • Si sur \(40~\text{kg}\) de pommes \(30\%\) sont véreuses alors la masse de pommes véreuses est :
    \(\dfrac{30}{100}\times40~\text{kg} = \dfrac{1\,200}{100}~\text{kg}=12~\text{kg}\)
  • Si sur \(180\) élèves de sixième \(75\%\) apprennent l'anglais alors le nombre d'élèves qui apprennent l'anglais est:
    \(\dfrac{75}{100}\times180=\dfrac{75\times180}{100}=135\)
Remarque: pour calculer facilement \(\dfrac{75\times180}{100}\) tu cherches les multiples de \(75\), de \(180\) et de \(100\) puis tu simplifies la fraction:
\[ \begin{align} \dfrac{75\times180}{100}&=\dfrac{(15\times5)\times(9\times20)}{100}\\ &=\dfrac{(15\times9)\times(5\times20)}{100}\\ &=\dfrac{(15\times9)\times100}{100}\\ &=15\times9\\ &=135\\ \end{align} \]


variations en pourcentage

Le directeur d'un magasin analyse le prix de son produit vedette, un chargeur de téléphone à manivelle à \(45~€\). Il calcule:
  • \(10\%\) du prix correspond à \(\dfrac{45}{10}\,€=4,\!5\,€\)
  • Si j'augmente le prix de \(10\%\) le prix du chargeur devient \(45\,€+4,\!5\,€=49,\!5\,€\)
  • Si je baisse le prix de \(10\%\) le prix du chargeur devient \(45\,€-4,\!5\,€=40,\!5\,€\)
Pour calculer un nouveau prix après une augmentation de \(x\%\) (par exemple \(5\%\) ou \(10\%\)):
  • Tu appliques le pourcentage au prix pour calculer l'augmentation en euro.
  • Tu ajoutes cette augmentation au prix pour obtenir le nouveau prix.
Pour calculer un nouveau prix après une diminution de \(x\%\) (par exemple \(5\%\) ou \(10\%\)):
  • Tu appliques le pourcentage au prix pour calculer l'augmentation en euro.
  • Tu retranches cette augmentation au prix pour obtenir le nouveau prix.


Calculer un pourcentage

Dans une classe de 36 élèves, 9 élèves ont choisi de faire du football. Les autres font du handball. Quel est le pourcentage d'élèves qui font du football?
Pour calculer le pourcentage:
  • Tu calcules la fraction \(\dfrac{9}{36}= 0,\!25\), le nombre d'élèves qui font du football sur le nombre total d'élèves.
  • Tu écris le pourcentage sous la forme fractionnaire pour trouver le taux de pourcentage:
    \(0,\!25 = \dfrac{25}{100} = 25\%\)
Dans un TGV de 360 places il y a 252 places de seconde classe. Quel est le pourcentage de places de seconde classe?
Pour calculer le pourcentage:
  • Tu calcules la fraction \(\dfrac{252}{360}=0,\!7\), le nombre de places de seconde sur le nombre total de places.
  • Tu écris le pourcentage sous forme fractionnaire pour trouver le taux de pourcentage:
    \(0,\!7=\dfrac{70}{100}=70\%\)