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Le parallélépipède rectangle
Définir le parallélépipède rectangle
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Le cube, les patrons
Définition d'un cube; reconnaître un patron
Définition d'un cube; reconnaître un patron
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Le volume
Calcul des volumes d'un parallélépipède rectangle
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Conversions mètre cube
Convertir la mesure d'un volume
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Conversions litre
Convertir la mesure d'une capacité
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Les volumes - Leçon 1 : Le parallélépipède rectangle
Définition
Un parallélépipède rectangle est un solide dont toutes les faces sont des rectangles.
Un parallélépipède \(\text{ABCDEFGH}\) rectangle a :- \(8\) sommets, les points \(\text{A, B, C, D, E, F, G}\) et \(\text{H}\).
- \(6\) faces, les rectangles \(\text{ABCD}\), \(\text{EFGH}\), \(\text{BFGC}\), \(\text{CGHD}\), \(\text{EADH}\),\(\text{AEFB}\)
- \(12\) arêtes, les segments dont les extrémités sont deux sommets consécutifs d'une face: \(\text{[AB]}\), \(\text{[BC]}\), \(\text{[CD]}\), \(\text{[DA]}\), \(\text{[EF]}\), \(\text{[FG]}\), \(\text{[GH]}\), \(\text{[HE]}\), \(\text{[AE]}\), \(\text{[BF]}\), \(\text{[CG]}\) et \(\text{[DH]}\)
Remarque: un parallélépipède rectangle s'appelle aussi un pavé droit. Attention à ne pas oublier le terme rectangle. Si tu ne précises pas, un parallélépipède est un solide dont toutes les faces sont des parallélogrammes.
Nommer un parallélépipède rectangle
Un parallélépipède rectangle a \(8\) sommets. Pour nommer ce solide, tu dois respecter une méthode précise.
- Tu commences par nommer une des faces du solide, par exemple \(\text{ABCD}\) ici en rouge.
- Tu repères la face parallèle à cette première face (ici \(\text{FGHE}\), en vert).
- Tu associes chaque sommet de la face parallèle au sommet de la première face relié par une arête: \(\text{E}\) est relié à \(\text{A}\) (en bleu), \(\text{F}\) est relié à \(\text{B}\) , \(\text{G}\) est relié à \(\text{C}\) , \(\text{H}\) est relié à \(\text{D}\).
- Tu nommes la deuxième face dans le même ordre que les sommets associés: \(\text{EFGH}\)
- Tu accoles le nom des deux faces pour nommer le parallélépipède rectangle : \(\text{ABCDEFGH}\)
Remarque 2: comme il y a \(6\) faces, tu peux nommer un parallélépipède rectangle de \(6\times8=48\) façons différentes.
Définition
Généralement les solides sont dessinés en perspective cavalière. Une perspective cavalière dessine en deux dimensions (le plan de l'écran ou de ta feuille) un solide en trois dimensions. Dans une perspective cavalière:
- Les segments parallèles sont représentés par des segments parallèles.
- Les faces avant et arrière sont représentées en vrai grandeur, ou à la même échelle.
- Les faces latérales (sur les côtés) sont représentées à une échelle plus petite.
- Les arêtes cachées sont en pointillés.
- Étape 1: tu dessines le rectangle de la face avant en vrai grandeur.
-
Étape 2: tu choisis un angle pour dessiner les faces latérales (par exemple \(20°, 30°, 45°\)) et tu traces les \(4\) arêtes qui relient la face avant avec la face arrière:
- Les \(4\) arêtes font le même angles avec l'horizontal, elles sont donc parallèles.
- Elles ont la même longueur, plus petite que la longueur réelle (c'est toi qui choisis, par exemple \(5\,\text{cm}\) au lieu de \(6\,\text{cm}\).
- L'arête qui part du sommet \(\text{D}\) est cachée par la face avant : tu la dessines en pointillés.
- Étape 3: tu dessines les arêtes de la face arrière, en faisant attention que deux arêtes sont cachées par les faces latérales et la face avant.
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Les volumes - Leçon 2 : Le cube, les patrons
Le cube
Définition
Un cube est un parallélépipède rectangle dont toutes les faces sont des carrés.
- \(8\) sommets, les points \(\text{A, B, C, D, E, F, G}\) et \(\text{H}\).
- \(6\) faces, les carrés \(\text{ABCD}\), \(\text{EFGH}\), \(\text{BFGC}\), \(\text{CGHD}\), \(\text{EADH}\),\(\text{AEFB}\)
- \(12\) arêtes, les segments dont les extrémités sont deux sommets consécutifs d'une face: \(\text{[AB]}\), \(\text{[BC]}\), \(\text{[CD]}\), \(\text{[DA]}\), \(\text{[EF]}\), \(\text{[FG]}\), \(\text{[GH]}\), \(\text{[HE]}\), \(\text{[AE]}\), \(\text{[BF]}\), \(\text{[CG]}\) et \(\text{[DH]}\)
Propriété
Les \(12\) arêtes du cube ont la même longueur.
Perspective cavalière
Dans une perspective cavalière d'un cube:- La face avant et la face arrière sont représentées par des carrés.
- Les arêtes latérales sont parallèles et de même longueur inférieure à la longueur réelle.
- Les arêtes cachées sont en pointillées.
Le patron d'un solide
Définition
Un patron d'un solide est une figure plane qui permet de représenter dans l'espace un solide après découpage et pliage de la figure.
Patron du parallélépipède rectangle
Prends (ou imagine...) un paquet de biscuits vide ayant la forme d'un parallélépipède rectangle et découpe les \(7\) arêtes en rouge sur le dessin ci-dessous, y compris l'arête \(\text{[EH]}\) qui est cachée:En découpant et en pliant un patron tu obtiens une figure dans l'espace, ici un parallélogramme rectangle.
Remarque 1: lorsqu'un sommet - par exemple \(\text{B}\) - se retrouve en plusieurs endroits sur le patron on le nomme \(\text{B'}\), \(\text{B''}\).Remarque 2: les segments qui se rejoignent au pliage pour former une arête doivent avoir la même longueur. Ici \(\text{A'D}=\text{AD}\), \(\text{AB}=\text{A'B''}\).
Remarque 3: il y a \(11\) patrons possibles pour le parallélépipède rectangle.
Dessiner le patron d'un parallélépipède rectangle
Pour trace le patron d'un parallélépipède rectangle:- Tu traces en vrai grandeur une première face.
- Tu traces autour les quatre faces qui ont une arête en commun.
- Tu traces en vrai grandeur la dernière face (le même rectangle que la première face) à partir d'une des arêtes qu'elle a en commun avec l'une des quatre autres faces.
Remarque 2: les segments qui se rejoignent au pliage pour former une arête doivent avoir la même longueur. Ici \(\text{AE'}=\text{AE}\), \(\text{G''H'}=\text{G'H}\).
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Les volumes - Leçon 3 : Le volume
Unité de volume
L'unité de volume est le mètre cube qui se note \(\text{m}^3\).
\(1~\text{m}^3\) est le volume d'un cube de \(1~\text{m}\) d'arête.
- \(1~\text{dm}^3\) est le volume d'un cube d'arête \(1~\text{dm}\)
- \(1~\text{cm}^3\) est le volume d'un cube d'arête \(1~\text{cm}\)
- \(1~\text{mm}^3\) est le volume d'un cube d'arête \(1~\text{mm}\)
- \(1~\text{km}^3\) est le volume d'un cube d'arête \(1~\text{km}\)
Calcul d'un volume
Le volume d'un parallélépipède rectangle est la mesure de l'espace qu'il contient. Il est égal au produit de ses trois dimensions.
\[ V = \text{a}\times\ \text{b}\times \text{c}\]
Le volume \(V\) d'un cube d'arête \(\text{d}\) est:
\[ V = \text{d}\times\ \text{d}\times \text{d}\]
Attention: les trois dimensions doivent être exprimées dans la même unité, par exemple le mètre ou le centimètre.
Exemple
Monsieur Moreau charge dans la remorque de son camion des palettes de la dimension d'un cube de \(1~\text{m}^3\). La remorque a la dimension d'un parallélépipède rectangle de \(2~\text{m}\) de large, \(3~\text{m}\) de hauteur et \(4~\text{m}\) de longueur. Combien peut-il charger de palettes ?On retrouve ce résultat avec la formule du volume de la remorque:
\[ V = 3~\text{m} \times 4~\text{m} \times 2~\text{m} = 24~\text{m}^3\]
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Les volumes - Leçon 4 : Conversions mètre cube
Conversion
\(1~\text{m}^3\) est le volume d'un cube de \(1~\text{m}\) d'arête. Comme \(1~\text{m}=10~\text{dm}\), un cube d'arête \(1~\text{m}\) a aussi un volume égal à \[ 10~\text{dm}\times10~\text{dm}\times10~\text{dm}=1000~\text{dm}^3\]
Conversion
Un mètre cube contient mille décimètres cubes, donc un décimètre cube correspond à un millième de mètre cube : \( 1~\text{dm}^3= \dfrac{1}{1000}~\text{m}^3=0,\!001~\text{m}^3\).
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Les volumes - Leçon 5 : Conversions litre
Unité de contenance
L'unité de contenance est le litre qui se note \(\text{L}\).
\(1~\text{L}\) est la contenance d'un cube de \(1~\text{dm}\) d'arête : \(1~\text{L}=1~\text{dm}^3\)
Le décilitre noté \(\text{dL}.\) | \(1~\text{dL}=0,\!1~\text{L}\); | \(1~\text{L}=10~\text{dL}\) |
Le centilitre noté \(\text{cL}.\) | \(1~\text{cL}=0,\!01~\text{L}\); | \(1~\text{L}=100~\text{cL}\) |
Le millilitre noté \(\text{mL}.\) | \(1~\text{mL}=0,\!001~\text{L}\); | \(1~\text{L}=1\,000~\text{mL}\) |
Le décalitre noté \(\text{daL}\) | \(1~\text{daL}=10~\text{L}\); | \(1~\text{L}=0,\!1~\text{daL}\) |
L'hectolitre noté \(\text{hL}\) | \(1~\text{hL}=100~\text{L}\); | \(1~\text{L}=0,\!01~\text{hL}\) |
Remarque Il faut multiplier ou diviser par \(10\) pour passer d'un multiple du litre au suivant : \(1~\text{L}=10~\text{dL}\); mais il faut multiplier ou diviser par \(1\,000\) pour passer d'un multiple du \(\text{m}^3\) au suivant : \(1~\text{m}^3=1\,000~\text{dm}^3\).
Conversion
Pour convertir les unités de contenance (litre et dérivés) et les unités de volume (mètre cube et dérivés), tu dois connaître les trois formules ci-dessous:
\[ \begin{align} 1~\text{L}&=1~\text{dm}^3\\ 1~\text{mL}&=1~\text{cm}^3\\ 1\,000~\text{L}&=1~\text{m}^3 \end{align} \]