volume - les parallélépipèdes rectangles

Définition

Un parallélépipède rectangle est un solide dont toutes les faces sont des rectangles.

Un parallélépipède \(\text{ABCDEFGH}\) rectangle a :

• \(8\) sommets, les points \(\text{A, B, C, D, E, F, G}\) et \(\text{H}\).
• \(6\) faces, les rectangles \(\text{ABCD}\), \(\text{EFGH}\), \(\text{BFGC}\), \(\text{CGHD}\), \(\text{EADH}\),\(\text{AEFB}\)
• \(12\) arêtes, les segments dont les extrémités sont deux sommets consécutifs d'une face: \(\text{[AB]}\), \(\text{[BC]}\), \(\text{[CD]}\), \(\text{[DA]}\), \(\text{[EF]}\), \(\text{[FG]}\), \(\text{[GH]}\), \(\text{[HE]}\), \(\text{[AE]}\), \(\text{[BF]}\), \(\text{[CG]}\) et \(\text{[DH]}\)

Représentation: sur la représentation en deux dimensions (l'écran ou une feuille) du parallélépipède rectangle (un solide dans l'espace en trois dimensions), toutes les faces sont représentées par des rectangles ou par des parallélogrammes. Attention: le segment \(\text{[AC]}\) n'est pas une arête,car \(\text{A}\) et \(\text{C}\) ne sont pas deux sommets consécutifs d'une face.
Remarque: un parallélépipède rectangle s'appelle aussi un pavé droit. Attention à ne pas oublier le terme rectangle. Si tu ne précises pas, un parallélépipède est un solide dont toutes les faces sont des parallélogrammes.

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Nommer un parallélépipède rectangle

Un parallélépipède rectangle a \(8\) sommets. Pour nommer ce solide, tu dois respecter une méthode précise.

• Tu commences par nommer une des faces du solide, par exemple \(\text{ABCD}\) ici en rouge.
• Tu repères la face parallèle à cette première face (ici \(\text{FGHE}\), en vert).
• Tu associes chaque sommet de la face parallèle au sommet de la première face relié par une arête: \(\text{E}\) est relié à \(\text{A}\) (en bleu), \(\text{F}\) est relié à \(\text{B}\) , \(\text{G}\) est relié à \(\text{C}\) , \(\text{H}\) est relié à \(\text{D}\).
• Tu nommes la deuxième face dans le même ordre que les sommets associés: \(\text{EFGH}\)
• Tu accoles le nom des deux faces pour nommer le parallélépipède rectangle : \(\text{ABCDEFGH}\)

Remarque 1: chaque face est un rectangle, tu peux la nommer de \(8\) façons différentes. La face \(\text{ABCD}\) peut aussi se nommer \(\text{ADCB}\) (tu pars de \(\text{A}\) et tu 'tournes' dans l'autre sens), mais aussi \(\text{BCDA}\) \(\text{BADC}\), \(\text{CDAB}\), \(\text{CBAD}\), \(\text{DABC}\), \(\text{DCBA}\).
Remarque 2: comme il y a \(6\) faces, tu peux nommer un parallélépipède rectangle de \(6\times8=48\) façons différentes.

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Définition

Généralement les solides sont dessinés en perspective cavalière. Une perspective cavalière dessine en deux dimensions (le plan de l'écran ou de ta feuille) un solide en trois dimensions. Dans une perspective cavalière:

• Les segments parallèles sont représentés par des segments parallèles.
• Les faces avant et arrière sont représentées en vrai grandeur, ou à la même échelle.
• Les faces latérales (sur les côtés) sont représentées à une échelle plus petite.
• Les arêtes cachées sont en pointillés.

Dessiner un parallélépipède rectangle en perspective cavalière se fait en trois étapes. Par exemple pour un parallélépipède rectangle dont les trois dimensions sont \(4\,\text{cm}\) et \(5\,\text{cm}\) pour la face avant et \(6\,\text{cm}\) pour les arêtes latérales:

• Étape 1: tu dessines le rectangle de la face avant en vrai grandeur.
• Étape 2: tu choisis un angle pour dessiner les faces latérales (par exemple \(20°, 30°, 45°\)) et tu traces les \(4\) arêtes qui relient la face avant avec la face arrière:
  • Les \(4\) arêtes font le même angles avec l'horizontal, elles sont donc parallèles.
  • Elles ont la même longueur, plus petite que la longueur réelle (c'est toi qui choisis, par exemple \(5\,\text{cm}\) au lieu de \(6\,\text{cm}\).
  • L'arête qui part du sommet \(\text{D}\) est cachée par la face avant : tu la dessines en pointillés.
• Étape 3: tu dessines les arêtes de la face arrière, en faisant attention que deux arêtes sont cachées par les faces latérales et la face avant.

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Le cube

Définition

Un cube est un parallélépipède rectangle dont toutes les faces sont des carrés.

Un cube \(\text{ABCDEFGH}\) a donc :

• \(8\) sommets, les points \(\text{A, B, C, D, E, F, G}\) et \(\text{H}\).
• \(6\) faces, les carrés \(\text{ABCD}\), \(\text{EFGH}\), \(\text{BFGC}\), \(\text{CGHD}\), \(\text{EADH}\),\(\text{AEFB}\)
• \(12\) arêtes, les segments dont les extrémités sont deux sommets consécutifs d'une face: \(\text{[AB]}\), \(\text{[BC]}\), \(\text{[CD]}\), \(\text{[DA]}\), \(\text{[EF]}\), \(\text{[FG]}\), \(\text{[GH]}\), \(\text{[HE]}\), \(\text{[AE]}\), \(\text{[BF]}\), \(\text{[CG]}\) et \(\text{[DH]}\)

Propriété

Les \(12\) arêtes du cube ont la même longueur.

Perspective cavalière

Dans une perspective cavalière d'un cube:

• La face avant et la face arrière sont représentées par des carrés.
• Les arêtes latérales sont parallèles et de même longueur inférieure à la longueur réelle.
• Les arêtes cachées sont en pointillées.

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Le patron d'un solide

Définition

Un patron d'un solide est une figure plane qui permet de représenter dans l'espace un solide après découpage et pliage de la figure.

Patron du parallélépipède rectangle

Prends (ou imagine...) un paquet de biscuits vide ayant la forme d'un parallélépipède rectangle et découpe les \(7\) arêtes en rouge sur le dessin ci-dessous, y compris l'arête \(\text{[EH]}\) qui est cachée: Déplie et aplatis complètement la figure obtenue : tu as un patron de ta boîte de biscuit:

En découpant et en pliant un patron tu obtiens une figure dans l'espace, ici un parallélogramme rectangle.

Remarque 1: lorsqu'un sommet - par exemple \(\text{B}\) - se retrouve en plusieurs endroits sur le patron on le nomme \(\text{B'}\), \(\text{B''}\).
Remarque 2: les segments qui se rejoignent au pliage pour former une arête doivent avoir la même longueur. Ici \(\text{A'D}=\text{AD}\), \(\text{AB}=\text{A'B''}\).
Remarque 3: il y a \(11\) patrons possibles pour le parallélépipède rectangle.

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Dessiner le patron d'un parallélépipède rectangle

Pour trace le patron d'un parallélépipède rectangle:

1. Tu traces en vrai grandeur une première face.
2. Tu traces autour les quatre faces qui ont une arête en commun.
3. Tu traces en vrai grandeur la dernière face (le même rectangle que la première face) à partir d'une des arêtes qu'elle a en commun avec l'une des quatre autres faces.

Par exemple, pour tracer le patron du parallélépipède rectangle représenté en perspective cavalière ci-dessous: Étape 1: tu traces en vrai grandeur une première face, par exemple le rectangle \(\text{ABCD}\). Étape 2: Tu traces autour les quatre faces \(\text{EFBA}\), \(\text{FGCB}\), \(\text{HGCD}\) et \(\text{AEHD}\) qui ont une arête en commun avec la première face. Étape 3: Tu traces la dernière face \(\text{EFGH}\) superposable à la première face, à partir d'une des arêtes qu'elle a en commun avec l'une des quatre autres faces. Tu as quatre emplacements possible (dont trois mis en pointillés ici). Remarque 1: lorsqu'un sommet - par exemple \(\text{F}\) - se retrouve en plusieurs endroits sur le patron on le nomme \(\text{F'}\), \(\text{F''}\).
Remarque 2: les segments qui se rejoignent au pliage pour former une arête doivent avoir la même longueur. Ici \(\text{AE'}=\text{AE}\), \(\text{G''H'}=\text{G'H}\).

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Unité de volume

L'unité de volume est le mètre cube qui se note \(\text{m}^3\).
\(1~\text{m}^3\) est le volume d'un cube de \(1~\text{m}\) d'arête.

On aura de même pour les multiples et les sous-multiples du mètre:

• \(1~\text{dm}^3\) est le volume d'un cube d'arête \(1~\text{dm}\)
• \(1~\text{cm}^3\) est le volume d'un cube d'arête \(1~\text{cm}\)
• \(1~\text{mm}^3\) est le volume d'un cube d'arête \(1~\text{mm}\)
• \(1~\text{km}^3\) est le volume d'un cube d'arête \(1~\text{km}\)

Remarque: l'unité de contenance, c'est à dire le volume d'un liquide dans un solide est le litre.

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Calcul d'un volume

Le volume d'un parallélépipède rectangle est la mesure de l'espace qu'il contient. Il est égal au produit de ses trois dimensions.

Le volume \(V\) d'un parallélépipède rectangle de hauteur \(\text{a}\), de longueur \(\text{b}\) et de largeur \(\text{c}\) est :
\[ V = \text{a}\times\ \text{b}\times \text{c}\]
Le volume \(V\) d'un cube d'arête \(\text{d}\) est:
\[ V = \text{d}\times\ \text{d}\times \text{d}\]
Attention: les trois dimensions doivent être exprimées dans la même unité, par exemple le mètre ou le centimètre.

Exemple

Monsieur Moreau charge dans la remorque de son camion des palettes de la dimension d'un cube de \(1~\text{m}^3\). La remorque a la dimension d'un parallélépipède rectangle de \(2~\text{m}\) de large, \(3~\text{m}\) de hauteur et \(4~\text{m}\) de longueur. Combien peut-il charger de palettes ?
Monsieur Moreau peut mettre \(2\) palettes en largeur et \(4\) palettes dans chaque longueur de sa remorque, soit \(2 \times 4 = 8\) palettes par étage, et cela sur \(3\) étages. Il pourra donc charger \(8 \times 3 = 24\) palettes.
On retrouve ce résultat avec la formule du volume de la remorque:
\[ V = 3~\text{m} \times 4~\text{m} \times 2~\text{m} = 24~\text{m}^3\]

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Conversion

\(1~\text{m}^3\) est le volume d'un cube de \(1~\text{m}\) d'arête. Comme \(1~\text{m}=10~\text{dm}\), un cube d'arête \(1~\text{m}\) a aussi un volume égal à \[ 10~\text{dm}\times10~\text{dm}\times10~\text{dm}=1000~\text{dm}^3\]

Un mètre cube contient donc mille décimètres cubes. Tu dois connaître les formules de conversion : \[ \begin{align} 1~\text{m}^3 &= 1\,000~\text{dm}^3\\ 1~\text{dm}^3 &= 1\,000~\text{cm}^3\\ 1~\text{cm}^3 &= 1\,000~\text{mm}^3\\ \end{align} \] Remarque: On aura donc aussi: \[ \begin{align} 1~\text{m}^3 &= 1\,000~\text{dm}^3 \\ & = 1\,000 \times (1\,000~\text{cm}^3) \\ & = 1\,000\,000~\text{cm}^3\\ & = 1\,000\,000\times (1\,000~\text{mm}^3)\\ &= 1\,000\,000\,000~\text{mm}^3\\ \end{align} \] Un mètre cube contient un million de centimètres cubes, et un milliard de millimètres cubes.

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Conversion

Un mètre cube contient mille décimètres cubes, donc un décimètre cube correspond à un millième de mètre cube : \( 1~\text{dm}^3= \dfrac{1}{1000}~\text{m}^3=0,\!001~\text{m}^3\).

On peut appliquer le même raisonnement pour les centimètres cubes et les millimètres cubes. Tu dois connaître les formules de conversion : \[ \begin{align} 1~\text{dm}^3 &= 0,\!001~\text{m}^3\\ 1~\text{cm}^3 &= 0,\!001~\text{dm}^3\\ 1~\text{mm}^3 &= 0,\!001~\text{cm}^3\\ \end{align} \]

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Unité de contenance

L'unité de contenance est le litre qui se note \(\text{L}\).
\(1~\text{L}\) est la contenance d'un cube de \(1~\text{dm}\) d'arête : \(1~\text{L}=1~\text{dm}^3\)

Les sous-multiples du litre sont:

Le décilitre noté \(\text{dL}.\)	\(1~\text{dL}=0,\!1~\text{L}\);	\(1~\text{L}=10~\text{dL}\)
Le centilitre noté \(\text{cL}.\)	\(1~\text{cL}=0,\!01~\text{L}\);	\(1~\text{L}=100~\text{cL}\)
Le millilitre noté \(\text{mL}.\)	\(1~\text{mL}=0,\!001~\text{L}\);	\(1~\text{L}=1\,000~\text{mL}\)

Les multiples du litre sont:

Le décalitre noté \(\text{daL}\)	\(1~\text{daL}=10~\text{L}\);	\(1~\text{L}=0,\!1~\text{daL}\)
L'hectolitre noté \(\text{hL}\)	\(1~\text{hL}=100~\text{L}\);	\(1~\text{L}=0,\!01~\text{hL}\)

Utilisation: On utilise le litre pour mesurer les quantités de liquide de volume inférieur au mètre cube. Par exemple une bouteille de deux litres est une bouteille qui peut contenir deux litres de liquide (eau, jus, lait, etc..).
Remarque Il faut multiplier ou diviser par \(10\) pour passer d'un multiple du litre au suivant : \(1~\text{L}=10~\text{dL}\); mais il faut multiplier ou diviser par \(1\,000\) pour passer d'un multiple du \(\text{m}^3\) au suivant : \(1~\text{m}^3=1\,000~\text{dm}^3\).

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Conversion

Pour convertir les unités de contenance (litre et dérivés) et les unités de volume (mètre cube et dérivés), tu dois connaître les trois formules ci-dessous:

\[ \begin{align} 1~\text{L}&=1~\text{dm}^3\\ 1~\text{mL}&=1~\text{cm}^3\\ 1\,000~\text{L}&=1~\text{m}^3 \end{align} \]

Démonstrations

Par définition un litre est égal à la contenance d'un décimètre cube. On a aussi: \[1~\text{mL}=0,\!001~\text{L}=0,\!001~\text{dm}^3=1~\text{cm}^3\] Et: \[1\,000~\text{L}=1\,000~\text{dm}^3 =1~\text{m}^3\]

Méthode de conversion

Pour convertir \(85~\text{hL}\) en \(\text{m}^3\), tu commences par convertir les hectolitres en litres, puis tu passes aux mètres cubes: \[ \begin{align} 85~\text{hL}&=85\times(100~\text{L})\\ &=8\,500~\text{L}\\ &=8,5\times1\,000~\text{L}\\ &=8,\!5~\text{m}^3 \end{align} \] Pour convertir \(710~\text{dm}^3\) en hectolitre, tu commences par convertir les décimètres cubes en litres, puis tu passes aux hectolitres. \[ \begin{align} 710~\text{dm}^3&=710~\text{L}\\ &=710\times(0,\!01~\text{hL})\\ &=7,1~\text{hL} \end{align} \]

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