math sixième

Unités de durée


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Unités de longueur


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Longueurs et périmètres


math sixième

Unités d'aire


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Aires des figures


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Unités - Leçon 1 : Unités de durée


Conversion de durée

Pour convertir des durées, tu dois connaître par cœur les égalités suivantes: un jour égale vingt-quatre heures, une heure égale soixante minutes, une minute égale soixante secondes: \[ \begin{align} 1~\text{j} &= 24~\text{h}\\ 1~\text{h} &=60~\text{min}\\ 1~\text{min} &=60~\text{s} \end{align} \] Attention: le symbole de minute est "min", et surtout pas "m", qui est le symbole du mètre.

Exemples

  • Pour convertir une heure en secondes, on calcule: \[ 1~\text{h} = 60~\text{min} = 60\times (60~\text{s})=3\,600~\text{s}\]
  • Pour calculer le nombre de minutes dans une journée on calcule: \[ 1~\text{j} = 24~\text{h}=24\times(60~\text{min})=1\,440~\text{min}\]
  • Pour convertir \(3~\text{h}~28~\text{min}\) en minutes on calcule: \[ \begin{align} 3~\text{h} &= 3\times(60~\text{min})\\ &= 180~\text{min}\\ 3~\text{h}~28~\text{min}&= 180~\text{min}+28~\text{min}\\ &=208~\text{min} \end{align} \]


Conversion de durée

Pour convertir des secondes en heures, minutes et secondes, tu commences par faire une division euclidienne par \(60\) pour convertir les secondes en minutes.
Par exemple, Pour convertir \(10\,000~\text{s}\) tu commences par faire la division euclidienne de \(10\,000\) par \(60\) :

10000   60
400
 166
400

40
\[ 10\,000~\text{s} = (60~\text{s}) \times 166 + 40~\text{s} \]

On convertit \((60\,\text{s})\) en \((1\,\text{min})\). On trouve :\( 10\,000~\text{s} = 166~\text{min}~40~\text{s}\).

On convertit ensuite les \(166~\text{min}\) en heures, minutes en faisant la division euclidienne de \(166\) par \(60\):



166   60


46  2





\[ 166~\text{min} = (60~\text{min}) \times 2 + 46~\text{min} \]

On convertit \((60\,\text{min})\) en \((1\,\text{h})\). On trouve donc \( 10\,000~\text{s} = 2~\text{h}~46~\text{min}~40~\text{s}\).

Remarque: Pour convertir des heures en jours, tu fais une division euclidienne du nombre d'heures par \(24\).



Additionner des durées

Pour additionner des durées:

  1. Tu poses l'addition en calculant colonne par colonne les jours, les heures, les minutes et les secondes.
  2. Tu convertis les secondes en minutes si tu trouves plus de \(59\) secondes, les minutes en heures si tu trouves plus de \(59\) minutes, les heures en jours si tu trouves plus de \(23\) heures.

Exemple

Pour additionner \(3\,\text{j}~13\,\text{h}~45\,\text{min}~38\,\text{s}\)  et  \(1\,\text{j}~12\,\text{h}~14\,\text{min}~24\,\text{s}\)  on pose l'addition en alignant les jours, heures, minutes et secondes:

\(3\,\text{j}\) \(13\,\text{h}\) \(45\,\text{min}\) \(38\,\text{s}\)
+\(1\,\text{j}\) \(12\,\text{h}\) \(14\,\text{min}\)\(24\,\text{s}\)
=\(4\,\text{j}\) \(25\,\text{h}\) \(59\,\text{min}\) \(62\,\text{s}\)
Tu convertis les \(62\,\text{s}\) en \(1\,\text{min}+2\,\text{s}\): \[ \begin{align} 4\,\text{j}~25\,\text{h}~59\,\text{min}~62\,\text{s} &= 4\,\text{j}~25\,\text{h}~59\,\text{min} + 1\,\text{min}+2\,\text{s}\\ &=4\,\text{j}~25\,\text{h}~60\,\text{min}~2\,\text{s} \end{align} \] Tu transformes les \(60\,\text{min}\) en \(1\,\text{h}\), puis les \(25+1\,\text{h}\) en \(1\,\text{j}~2\,\text{h}\): \[ \begin{align} 4\,\text{j}~25\,\text{h}~60\,\text{min}~2\,\text{s}&=4\,\text{j}~25\,\text{h}+1\,\text{h}~2\,\text{s}\\ &=4\,\text{j}~26\,\text{h}~2\,\text{s}\\ &=4\,\text{j}+1\,\text{j}~2\,\text{h}~2\,\text{s}\\ &=5\,\text{j}~2\,\text{h}~2\,\text{s}\\ \end{align} \]

Attention: commence toujours par convertir les secondes, puis les minutes, puis les heures.



Calculer une durée entre deux instants

Pour calculer une durée entre deux instants (par exemple entre le début et la fin d'une course), on soustrait l'instant final à l'instant initial:

  • Tu poses la soustraction en alignant colonne par colonne les jours, heures, minutes et secondes.
  • Si tu ne peux pas faire la soustraction des secondes, tu convertis une minute en soixante secondes.
  • Si tu ne peux pas faire la soustraction des minutes, tu convertis une heure en soixante minutes.
  • Si tu ne peux pas faire la soustraction des heures, tu convertis un jour en vingt-quatre heures.
Par exemple, pour calculer la soustraction \(3~\text{h}~15~\text{min}~20~\text{s}-1~\text{h}~25~\text{min}~30~\text{s}\), tu poses la soustraction:

\(3~\text{h}\) \(15~\text{min}\) \(20~\text{s}\)
- \(1~\text{h}\) \(25~\text{min}\)\(30~\text{s}\)




Tu ne peux pas faire la soustraction \(20~\text{s}-30~\text{s}\), donc tu convertis \(15~\text{min}~20~\text{s}\) en \(14~\text{min}+60~\text{s}+20~\text{s}=14~\text{min}~80~\text{s}\).
De même tu ne peux pas faire la soustraction \(14~\text{min}-25~\text{min}\) donc tu convertis \(3~\text{h}~14~\text{min}\) en \(2~\text{h}+60~\text{min}+14~\text{min}=2~\text{h}~74~\text{min}\). Tu peux alors faire la soustraction posée colonne par colonne: 

\(2~\text{h}\) \(74~\text{min}\) \(80~\text{s}\)
- \(1~\text{h}\) \(25~\text{min}\)\(30~\text{s}\)

\(1~\text{h}\) \(49~\text{min}\) \(50~\text{s}\)
On trouve \(3~\text{h}~15~\text{min}~20~\text{s}-1~\text{h}~25~\text{min}~30~\text{s}=1~\text{h}~49~\text{min}~50~\text{s}.\)
Attention: commence toujours par vérifier si tu peux faire la soustraction des secondes, puis celle des minutes, puis celle des heures.


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Unités - Leçon 2 : Unités de longueur


Unité de longueur

L'unité de longueur principale est le mètre. Son symbole est \(\text{m}\).

Ses multiples sont le décamètre (\(1~\text{dam}=10~\text{m}\)), l'hectomètre (\(1~\text{hm}=100~\text{m}\)), le kilomètre (\(1~\text{km}=1\,000~\text{m}\)).
Ses sous-multiples sont le décimètre (\(1~\text{dm}=\dfrac{1}{10}~\text{m}=0,\!1~\text{m}\)), le centimètre (\(1~\text{cm}=\dfrac{1}{100}~\text{m}=0,\!01~\text{m}\)), le millimètre (\(1~\text{mm}=\dfrac{1}{1\,000}~\text{m}=0,\!001~\text{m}\)).
Les préfixe milli, centi, déci, déca, hecto et kilo sont utilisés pour caractériser les multiples et sous-multiples des unités:
  • milli : \(\div 1000\)
  • centi: \(\div 100\)
  • déci: \(\div 10\)
  • déca : \(\times 10\)
  • hecto: \(\times 100\)
  • kilo: \(\times 1\,000\)


Unités de longueur - conversion

\(1~\text{km}\) \(=\) \(10~\text{hm}\) \(=\) \(100~\text{dam}\) \(=\) \(1\,000~\text{m}\)
\(1~\text{m}\) \(=\) \(0,\!1~\text{dam}\) \(=\) \(0,\!01~\text{hm}\) \(=\) \(0,\!001~\text{km}\)
\(1~\text{m}\) \(=\) \(10~\text{dm}\) \(=\) \(100~\text{cm}\) \(=\) \(1\,000~\text{mm}\)
\(1~\text{mm}\) \(=\) \(0,\!1~\text{cm}\) \(=\) \(0,\!01~\text{dm}\) \(=\) \(0,\!001~\text{m}\)

Pour convertir une longueur d'une unité à une autre, tu remplaces l'unité par sa valeur dans la nouvelle unité. Pour convertir \(25~\text{hm}\) en mètre, tu remplaces l'hectomètre par cent mètres: \[ 25~\text{hm} = 25 \times (1~\text{hm}) = 25 \times (100~\text{m}) = 2\,500~\text{m} \] Pour convertir \(145~\text{m}\) en décamètre, tu remplaces le mètre par un dixième de décamètre: \[ 145~\text{m} = 145 \times (0,\!1~\text{dam}) = 14,\!5~\text{dam} \]

Multiplier et diviser par mille

Rappel: pour multiplier par \(1\,000\), tu décales les chiffres trois fois vers la gauche. Pour diviser par \(1\,000\), tu décales les chiffres trois fois vers la droite. Pour convertir un mètre en kilomètre, tu divises par mille. Pour convertir un mètre en millimètre, tu multiplies par mille: \[ 1~\text{m} = 0,\!001~\text{km} = 1\,000~\text{mm} \]
UNITÉ Partie entière Partie décimale
milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes
\(\text{m}\) \(1\)
\( \text{km}\) \(0,\) \(0\) \(0\) \(1\)
\( \text{mm}\) \(1\) \(0\) \(0\) \(0\)



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Unités - Leçon 3 : Longueurs et périmètres


Longueur d'un cercle

La longueur ou la circonférence \(\text{L}\) d'un cercle de rayon \(\text{r}\), de diamètre \(\text{d}\) est donnée par les formules :
\[ \begin{align} \text{L}&=2\times\pi\times \text{r}\\ \text{L}&=\pi \times \text{d}\\ \end{align} \]
Le nombre Pi, noté \(\pi\), a un nombre infini de chiffres après la virgule. On prend souvent comme valeur approchée: \[ \pi \approx 3,\!14159\] Tu dois au moins retenir que \(\pi\) est environ égal à \(3,\!14\).
Pour faire des calculs avec \(\pi\) tu utilises la touche \(\pi\) de ta calculatrice, qui utilise une valeur plus précise de \(\pi\).
Rappel: le diamètre d'un cercle est égal à deux fois son rayon.
Remarque: on parle du périmètre d'un disque, qui est une surface plane, et de la circonférence (ou longueur) d'un cercle. Un cercle est une courbe, ce n'est pas une surface plane, il n'a pas de périmètre. 

Périmètre

Le périmètre d'une figure plane est la longueur de son contour. Des formules permettent de calculer le périmètre des figures les plus courantes:
figure périmètre
disque de rayon \(\text{r}\) de diamètre \(\text{d}\)
\[ \begin{align} \text{p}&=2\times\pi\times \text{r}\\ \text{p}&=\pi \times \text{d}\\ \end{align} \]
rectangle de longueur \(\text{L}\) de largeur \(\text{l}\)
\[ \begin{align} \text{p}&=2\times\text{l}+2\times\text{L}\\ \text{p}&=2\times(\text{l}+\text{L})\\ \end{align} \]
triangle
\[\text{p}=\text{a}+\text{b}+\text{c}\]
carré ou losange de côté de longueur \(\text{c}\)
\[\text{p}=4\times\text{c}\]
Pour calculer le périmètre d'une figure complexe, on la décompose en figures simples dont on connait la formule du périmètre.
Par exemple, la figure ci-dessous est composée d'un carré et d'un disque imbriqués. Son périmètre est égal au périmètre du carré auquel on a enlevé deux fois la moitié d'un côté (\(4\times\text{c}- 2\times \dfrac{\text{c}}{2}=3\times\text{c}\)) plus trois quart du périmètre du disque de diamètre \(\text{c}\): \[ \text{p} = 3\times\text{c} + \dfrac{3}{4}\times\pi\times\text{c}\]



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Unités - Leçon 4 : Unités d'aire


Définition - aire d'une figure

L'aire d'une figure plane est la mesure de la surface intérieure de cette figure, exprimée en unités d'aire.

L'unité d'aire principale est le mètre carré, de symbole \(\text{m}^2\). Elle correspond à l'aire d'un carré de \(1~\text{m}\) de côté.

Le décimètre carré (symbole \(\text{dm}^2\)), le centimètre carré (symbole \(\text{cm}^2\)) et le millimètre carré (symbole \(\text{mm}^2\)) sont des unités d'aire dérivées du mètre carré.

Un décimètre carré est l'aire d'un carré de \(1~\text{dm}\) de côté. Il faut \(100~\text{dm}^2\) pour faire \(1~\text{m}^2\): \(1~\text{m}^2=100~\text{dm}^2\).
Un centimètre carré est l'aire d'un carré de \(1~\text{cm}\) de côté. Il faut \(100~\text{cm}^2\) pour faire \(1~\text{dm}^2\):  \(1~\text{dm}^2=100~\text{cm}^2\).
Un millimètre carré est l'aire d'un carré de \(1~\text{mm}\) de côté. Il faut \(100~\text{mm}^2\) pour faire \(1~\text{cm}^2\):  \(1~\text{cm}^2=100~\text{mm}^2\).
Pour calculer l'aire d'une figure, on compte le nombre d'unités d'aire contenues dans la surface intérieure de la figure. Par exemple, l'aire de la figure suivante est de \(5~\text{cm}^2\).


Définition - aire d'un terrain

Pour mesurer l'aire d'un terrain ou d'un territoire, on utilise trois unités d'aire:

  • Le kilomètre carré, de symbole \(\text{km}^2\), correspond à l'aire d'un carré de \(1~\text{km}\) de côté.
  • L'are, de symbole \(\text{a}\), correspond à l'aire d'un carré de \(10~\text{m}=1~\text{dam}\) de côté. \(1~\text{a}=1~\text{dam}^2=100~\text{m}^2\)
  • L'hectare, de symbole \(\text{ha}\), correspond à l'aire d'un carré de \(100~\text{m}\) de côté. \(1~\text{ha}=100~\text{a}=100\times(100~\text{m}^2)=10\,000~\text{m}^2.\)



Conversion - unités d'aire

Chaque unité d'aire est \(100\) fois plus grande que l'unité immédiatement inférieur.

\[ \begin{align} 1\,\text{km}^2 &= 100\,\text{hm}^2\\ 1\,\text{hm}^2 &= 100\,\text{dam}^2\\ 1\,\text{dam}^2 &= 100\,\text{m}^2\\ 1\,\text{m}^2 &= 100\,\text{dm}^2\\ 1\,\text{dm}^2 &= 100\,\text{cm}^2\\ 1\,\text{cm}^2 &= 100\,\text{mm}^2\\ \\ 1\,\text{ha} &= 100\,\text{a}\\ \end{align} \] \(1\,\text{dm}^2\) est un centième de \(1\,\text{m}^2\) : il faut \(100\) carrés de \(1\,\text{dm}\) de côté pour remplir \(1\,\text{m}^2\) : \[1\,\text{dm}^2=\dfrac{1}{100}\,\text{m}^2=0,\!01\,\text{m}^2\]
On a donc aussi: \[ \begin{align} 1\,\text{mm}^2&=0,\!01\,\text{cm}^2\\ 1\,\text{cm}^2&=0,\!01\,\text{dm}^2\\ 1\,\text{dm}^2&=0,\!01\,\text{m}^2\\ 1\,\text{m}^2&=0,\!01\,\text{dam}^2\\ 1\,\text{dam}^2&=0,\!01\,\text{hm}^2\\ 1\,\text{hm}^2&=0,\!01\,\text{m}^2\\ \\ 1\,\text{a}&=0,\!01\,\text{ha} \end{align} \] Pour convertir une aire dans une nouvelle unité, on remplace l'ancienne unité par sa valeur dans la nouvelle unité. Par exemple pour convertir des \(\text{km}^2\) en \(\text{hm}^2\): \[ 34\,\text{km}^2=34\times(100\,\text{hm}^2)=3\,400\,\text{hm}^2 \] Pour convertir \(0,\!008\,\text{m}^2\) en \(\text{mm}^2\) on commence par calculer \(1\,\text{m}^2\) en \(\text{mm}^2\): \[ \begin{align} 1\,\text{m}^2&=100\,\text{dm}^2=100\times(100\,\text{cm}^2)\\ &=10\,000\,\text{cm}^2=10\,000\times(100\,\text{mm}^2)\\ &=1\,000\,000\,\text{mm}^2 \end{align} \] Puis on fait la conversion : \[ 0,\!008\,\text{m}^2 = 0,\!008 \times(1\,000\,000\,\text{mm}^2) = 8\,000\,\text{mm}^2 \]


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Unités - Leçon 5 : Aires des figures


Aires usuelles

Des formules permettent de calculer l'aire des figures les plus courantes:
figure aire
disque de rayon \(\text{r}\) de diamètre \(\text{d}\)
\[ \begin{align} A&=\dfrac{\pi \times \text{d}\times\text{d}}{4}\\ A&=\pi\times \text{r}\times\text{r}\\ \end{align} \]
rectangle de longueur \(\text{L}\) de largeur \(\text{l}\)
\[A=\text{l}\times\text{L}\]
triangle rectangle
\[A=\dfrac{\text{a}\times\text{b}}{2}\]
carré de côté de longueur \(\text{c}\)
\[A=\text{c}\times\text{c}\]