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Situation de proportionnalité


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Problèmes


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Échelles


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Pourcentage


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Proportionnalité - Leçon 1 : Situation de proportionnalité


Définitions

Grandeur

Une grandeur est une caractéristique (un prix, une longueur, le nombre d'éléments) d'une ou plusieurs entités (une figure mathématique, un lot d'objets à acheter, un itinéraire...). Par exemple:

  • Le prix et le nombre de boîtes d'un lot de boîtes de biscuits sont deux grandeurs.
  • La longueur et la durée de parcours en voiture d'un parcours sont deux grandeurs.
  • Le volume de peinture utilisée et l'aire d'un mur peint avec ce volume de peinture sont deux grandeurs.

Proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre.
Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, on a une situation de proportionnalité.

Exemple : un ananas coûte \(2,\!4\,€\). \(2\) ananas coûtent \(2\times2,\!4\,€=4,\!8~€\) et  \(10\) ananas coûtent \(10\times2,\!4\,€=24\,€.\) Pour chaque valeur le prix total des ananas s'obtient en multipliant le nombre d'ananas par \(2,\!4\). Le prix total et le nombre d'ananas sont des grandeurs proportionnelles.

On peut te demander de représenter une situation de proportionnalité par un tableau de proportionnalité.

nombre d'ananas \(1\) \(2\) \(5\) \(10\)
Prix total en euro \(2,\!4\) \(4,\!8\) \(12\) \(24\)
Le nombre (ici \(2,\!4\)) qui permet de passer par multiplication des valeurs d'une grandeur à celles de l'autre (d'une ligne du tableau à l'autre) s'appelle le coefficient de proportionnalité.

Situation de proportionnalité

Problème

Un technicien veut mesurer le nombre de tablettes qui sortent d'une chaîne de montage. Il résume dans le tableau ci-dessous le résultat de quatre mesures de \(5\) secondes , \(8\) secondes, \(15\) secondes et \(60\) secondes.

Durée de la mesure, en seconde\(5\) \(8\) \(15\) \(60\)
Nombre de tablettes \(20\) \(32\) \(60\) \(240\)

La durée de la mesure et le nombre de tablettes construites sont-elles des grandeurs proportionnelles ?

Méthode

On utilise la définition : deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre.
Ici on remarque que \(5\times4=20\). On vérifie donc qu'en multipliant par \(4\) chacune des autres durées de la mesure (\(8, 15, 60\)) on obtient bien le nombre de tablettes :

\[ \begin{align} 8\times4&=32\\ 15\times4&=60\\ 60\times4&=260\\ \end{align} \]

C'est bien le cas, donc les grandeurs sont proportionnelles.

Pour prouver que deux valeurs sont proportionnelles:

  • Tu cherches le nombre qui permet de passer d'une grandeur à l'autre pour une valeur.
  • Tu vérifies que ce nombre te permet de passer d'une grandeur à l'autre pour les autres valeurs.

Le nombre qui permet de passer d'une grandeur à l'autre s'appelle le coefficient de proportionnalité.

Pour trouver le coefficient de proportionnalité:

  • Soit tu trouves directement ce nombre, comme ici : \(5 \times 4 = 20\)
  • Soit tu divises une valeur de la deuxième grandeur par la valeur correspondante de la première grandeur : \(20 \div 5 = 4\).


Situation de non-proportionnalité

Le problème

Deux grandeurs ne sont pas toujours proportionnelles. Par exemple le Théâtre de la Ville propose les tarifs suivants:

  • \(1\) billet à \(15~€\).
  • Carnet de \(5\) billets à \(65~€\).
  • Abonnement saison (\(20\) spectacles) à \(200~€\).

Sommes-nous dans une situation de proportionnalité ? Le nombre de billets et le prix total sont-ils proportionnels ?

Méthode

On utilise la définition : Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre.

On calcule le nombre qui permet de passer d'une grandeur à l'autre en prenant le premier couple de valeurs : \(1\) billet coûte \(15~€\) donc il faut multiplier le nombre de billets par \(15\) pour trouver le prix des billets.

Si le nombre de billets et le prix total sont proportionnels, le prix d'un carnet de \(5\) billets se trouve en calculant \(5 \times 15\), soit \(75~€\).

Comme le prix de \(5\) billets est \(65~€\) nous ne sommes pas dans une situation de proportionnalité.

Pour montrer que deux grandeurs ne sont pas proportionnelles :

  • tu cherches le nombre qui permet de passer des valeurs d'une grandeur à l'autre (ici \(15\)),
  • tu cherches un couple de valeurs qui ne respecte pas la définition des grandeurs proportionnelles (ici \(5\) billets à \(65~€\)).



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Proportionnalité - Leçon 2 : Problèmes


Problème utilisant la proportionnalité

Problème

\(4\) tablettes de chocolat coûtent \(5~€\). Chloé veut acheter \(12\) tablettes de chocolat. Combien va-t-elle payer ?

Dans ce type de problème, on te donne :

  • les valeurs de deux grandeurs proportionnelles (\(4\) tablettes de chocolat coûte \(5~€\))
  • Une autre valeur d'une des grandeurs ( Chloé veut acheter \(12\) tablettes de chocolat).
  • Tu dois trouver la valeur de la deuxième grandeur (Combien va-t-elle payer ?).

Tu as trois méthodes pour résoudre ces problèmes très classiques, que tu as déjà vu en primaire. Tu dois apprendre à choisir la plus simple en fonction du problème. Tu peux utiliser un tableau de proportionnalité pour t'aider:

Nombre de tablettes \(4\) \(12\)
Prix, en euro \(5\) \(?\)

Méthode 1: passage à l'unité

C'est la méthode la plus systématique, que tu utilises si tu ne sais pas quelle méthode utiliser.

  • Tu calcules le prix d'une tablette de chocolat en divisant le prix de \(4\) tablettes par le nombre de tablette : \(5\div4=1,\!25\). \(1\) tablette coûte donc \(1,\!25~€\). C'est aussi le coefficient de proportionnalité: \(1,\!25\).
  • Tu multiplies le nombre de tablettes dont tu cherches le prix ( ici \(12\)) par le coefficient de proportionnalité pour trouver le prix des \(12\) tablettes : \(12\times1,\!25=15\). Le prix est \(15~€\).
Nombres de tablettes \(4\) \(1\) \(12\)
Prix, en euro \(5\) \(1,\!25\) \(15\)

Méthode 2: multiplication (ou division) de la valeur donnée

Tu peux passer facilement de \(4\) tablettes de chocolats à \(12\) tablettes de chocolats : \(3 \times 4 = 12\).

Comme les deux grandeurs sont proportionnelles, multiplier la valeur de l'une par \(3\) revient à multiplier la valeur de l'autre par \(3\). Le prix de \(12\) tablettes est donc \( 3 \times 5~€ = 15~€.\)

Nombres de tablettes \(4\) \(12\)
Prix, en euro \(5\) \(15\)

Tu utilises cette méthode seulement si tu trouves une multiplication ou une division simple entre les valeurs d'une même grandeur.

Méthode 3: addition des valeurs données

Si on te donne plusieurs couples de valeurs, tu peux les additionner pour trouver la valeur que tu cherches. Si le problème est :
\(4\) tablettes de chocolat coûtent \(5~€\). \(8\) tablettes de chocolat coûtent \(10~€\).Chloé veut acheter \(12\) tablettes de chocolat. Combien va-t-elle payer ?

Tu remarques que \(4 + 8 =12.\) En additionnant le prix de \(4\) tablettes et le prix de \(8\) tablettes tu trouves le prix de \(12\) tablettes : \(5~€+10~€ =15~€\).

Nombres de tablettes \(4\) \(8\) \(12=8+4\)
Prix, en euro \(5\) \(10\) \(15=5+10\)



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Proportionnalité - Leçon 3 : Échelles


Plan à l'échelle

Définition

Sur un plan à l'échelle les distances sont proportionnelles aux distances réelles.

L'échelle du plan est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des distances réelles aux distances sur le plan.

Exemples

Une carte routière de la Corse est à l'échelle \( 1\,/\,200\,000\)ème. On dit un deux-cent millièmes. Sur la carte, les distances sont deux-cent-mille fois plus petites que les distances réelles : multiplier par \(\dfrac{1}{200\,000}\) revient à diviser par \(200\,000\).

Le tableau de proportionnalité permet de passer des distances réelles aux distances sur la carte, exprimées dans la même unité.

distances réelles \(2\,000\,000~\text{cm}\) \(1\,000\,000~\text{cm}\) \(200\,000~\text{cm}\)
distances sur la carte \(10\,\text{cm}\) \(5\,\text{cm}\) \(1\,\text{cm}\)
Rappel:
  • \(1\,\text{km}=1\,000\,\text{m}=100\,000\,\text{cm}\)
  • \(1\,\text{cm} = \dfrac{1}{100}\,\text{m} = \dfrac{1}{100\,000}\,\text{km}\)

On exprime généralement les distances réelles en kilomètres et les distances sur la carte en centimètres. Comme \(200\,000\,\text{cm}=2\,\text{km},\) un centimètre sur la carte représente deux kilomètres dans la réalité à l'échelle \( 1~/~200\,000\) ème.

Méthode - de la réalité au plan:

Sur une carte à l'échelle 1/300 000ème, comment est représenté 60 km?

Pour résoudre cet exercice :

  • Tu convertis la distance réelle en cm : \[ \begin{align} 60\,\text{km}&=60 \times (100\,000\,\text{cm})\\ &=6\,000\,000\,\text{cm}\\ \end{align} \]
  • Tu multiplies la distance réelle par l'échelle : \[ \begin{align} 6\,000\,000\,\text{cm}\times \dfrac{1}{300\,000}&=\dfrac{6\,000\,000}{300\,000}\,\text{cm}\\ &=\dfrac{60}{3}\,\text{cm}=20\,\text{cm}\\ \end{align} \]

Méthode - du plan à la réalité:

Sur une carte à l'échelle 1/500 000ème, que représente 2 cm?

Pour résoudre cet exercice on fait l'opération inverse:

  • Tu divises la distance sur le plan par l'échelle. Diviser par \(\dfrac{1}{500\,000}\) revient à multiplier par \(500\,000\): \[2\,\text{cm}\times 500\,000 = 1\,000\,000\,\text{cm}\]
  • Tu convertis les cm en km: \[ \begin{align} 1\,000\,000\,\text{cm} &= 10 \times 100\,000\,\text{cm}\\ & = 10 \times ( 100\,000\,\text{cm})\\ &= 10\,\text{km}\\ \end{align} \]


Méthode - trouver l'échelle d'une carte

Sur une carte routière est indiqué 1 cm représente 2 km. Quel est l'échelle de cette carte?
Sur cette carte, une distance réelle de 2 km est représentée par une distance de 1 cm. L'échelle est le coefficient de proportionnalité. Pour calculer l'échelle de la carte:
  • Tu convertis la distance réelle en cm: \(2~\text{km} = 2 \times (100\,000~\text{cm}) = 200\,000~\text{cm}.\)
  • Tu calcules l'échelle en divisant la distance sur le plan par la distance réelle:
    \( 1~\text{cm} \div 200\,000~\text{cm} = \dfrac{1}{200\,000}\)
  • Tu laisses l'échelle sous la forme d'une fraction.
distances réelles \(200\,000~\text{cm}\)
distances sur la carte \(1~\text{cm}\)
Tu peux vérifier que ton résultat est juste en multipliant la distance réelle par l'échelle : tu dois obtenir la distance sur la carte. Ici :
\[ \begin{align} \dfrac{1}{200\,000} \times 2~\text{km} &= \dfrac{1}{200\,000} \times 200\,000~\text{cm} \\ &= \dfrac{200\,000}{200\,000}~\text{cm} \\ &= 1~\text{cm}\\ \end{align} \]
N'oublie pas que tu dois convertir les distances réelles dans l'unité de la carte, ici les centimètres, avant de faire tes calculs.


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Proportionnalité - Leçon 4 : Pourcentage


Définitions - pourcentage

Taux de pourcentage

Un taux de pourcentage est une écriture fractionnaire dont le dénominateur est 100. Il s'écrit avec le symbole % qui se lit "pour cent'" et qui remplace la barre de fraction et le dénominateur 100.
Par exemple:
  • \(50\% = \dfrac{50}{100}=0,\!5\)
  • \(3\% = \dfrac{3}{100}=0,\!03\)
  • \(8,\!5\% = \dfrac{8,\!5}{100}=0,\!085\)
Un pourcentage peut s'écrire avec le symbole "\(\%\)" ( comme \(9\%\)), sous son écriture fractionnaire (comme \(\dfrac{9}{100}\)) ou sous forme décimale (comme \(0,\!09\)).

Pourcentage d'une grandeur

Dire "30% des pommes de la récolte sont véreuses" indique que sur \(100\) pommes, \(30\) sont véreuses.
Dire "75% des sixièmes savent nager" indique que sur \(100\) élèves en sixième, \(75\) savent nager.

Calculer un pourcentage

Appliquer un pourcentage à une grandeur, c'est multiplier les valeurs de cette grandeur par le taux de pourcentage.
  • Si sur \(40~\text{kg}\) de pommes \(30\%\) sont véreuses alors la masse de pommes véreuses est :
    \(\dfrac{30}{100}\times40~\text{kg} = \dfrac{1\,200}{100}~\text{kg}=12~\text{kg}\)
  • Si sur \(180\) élèves de sixième \(75\%\) apprennent l'anglais alors le nombre d'élèves qui apprennent l'anglais est:
    \(\dfrac{75}{100}\times180=\dfrac{75\times180}{100}=135\)
Remarque: pour calculer facilement \(\dfrac{75\times180}{100}\) tu cherches les multiples de \(75\), de \(180\) et de \(100\) puis tu simplifies la fraction:
\[ \begin{align} \dfrac{75\times180}{100}&=\dfrac{(15\times5)\times(9\times20)}{100}\\ &=\dfrac{(15\times9)\times(5\times20)}{100}\\ &=\dfrac{(15\times9)\times100}{100}\\ &=15\times9\\ &=135\\ \end{align} \]


variations en pourcentage

Le directeur d'un magasin analyse le prix de son produit vedette, un chargeur de téléphone à manivelle à \(45~€\). Il calcule:
  • \(10\%\) du prix correspond à \(\dfrac{45}{10}\,€=4,\!5\,€\)
  • Si j'augmente le prix de \(10\%\) le prix du chargeur devient \(45\,€+4,\!5\,€=49,\!5\,€\)
  • Si je baisse le prix de \(10\%\) le prix du chargeur devient \(45\,€-4,\!5\,€=40,\!5\,€\)
Pour calculer un nouveau prix après une augmentation de \(x\%\) (par exemple \(5\%\) ou \(10\%\)):
  • Tu appliques le pourcentage au prix pour calculer l'augmentation en euro.
  • Tu ajoutes cette augmentation au prix pour obtenir le nouveau prix.
Pour calculer un nouveau prix après une diminution de \(x\%\) (par exemple \(5\%\) ou \(10\%\)):
  • Tu appliques le pourcentage au prix pour calculer l'augmentation en euro.
  • Tu retranches cette augmentation au prix pour obtenir le nouveau prix.


Calculer un pourcentage

Dans une classe de 36 élèves, 9 élèves ont choisi de faire du football. Les autres font du handball. Quel est le pourcentage d'élèves qui font du football?
Pour calculer le pourcentage:
  • Tu calcules la fraction \(\dfrac{9}{36}= 0,\!25\), le nombre d'élèves qui font du football sur le nombre total d'élèves.
  • Tu écris le pourcentage sous la forme fractionnaire pour trouver le taux de pourcentage:
    \(0,\!25 = \dfrac{25}{100} = 25\%\)
Dans un TGV de 360 places il y a 252 places de seconde classe. Quel est le pourcentage de places de seconde classe?
Pour calculer le pourcentage:
  • Tu calcules la fraction \(\dfrac{252}{360}=0,\!7\), le nombre de places de seconde sur le nombre total de places.
  • Tu écris le pourcentage sous forme fractionnaire pour trouver le taux de pourcentage:
    \(0,\!7=\dfrac{70}{100}=70\%\)