Droites et segments

Définition

Une droite est une ligne droite illimitée à chacune de ses extrémités.

Une droite est représentée par un trait droit. Elle peut se noter avec une lettre entre parenthèses, par exemple \( (d) \).

Exemple

La droite \( (d) \) est représentée dans le plan ci-dessous.

Attention

Même si, sur le graphique, le trait droit a des limites, la droite, représentée par ce trait, est bien illimitée: c'est un objet géométrique dont une propriété est d'être illimitée.

Définition

On dit qu'un point \( \textsf{A} \) appartient à la droite \( (d) \) si la droite \( (d) \) passe par le point \( \textsf{A} \).

On utilise le symbole mathématique \( \in \) signifiant appartient à pour l'écrire :

\[ \textsf{A} \in (d) \]

On dit qu'un point \( \textsf{B} \) n'appartient pas à la droite \( (d) \) si la droite \( (d) \) ne passe pas par le point \( \textsf{B} \).

On utilise le symbole mathématique \( \notin \) signifiant n'appartient pas à pour l'écrire :

\[ \textsf{B} \notin (d) \]

Propriété

Par deux points distincts \( \textsf{A} \) et \( \textsf{B} \) ne passe qu'une seule droite. Cette droite se note \( (\textsf{AB}) \) ou \( (\textsf{BA}) \).

Remarques

• Deux points distincts sont deux points différents.
• Les parenthèses sont importantes dans la notation \( (\textsf{AB}) \) : elles indiquent qu'il s'agit d'une droite, c'est à dire d'une ligne droite illimitée à chacune de ses extrémités.

Définition

Une demi-droite est une portion de droite limitée d'un côté et illimitée de l'autre.

On note \( \textsf{[AB)} \) la demi-droite d'origine \( \textsf{A} \) passant par le point \( \textsf{B} \).

Attention

• Une demi-droite s'écrit avec un tiret entre demi et droite.
• Dans la notation \( \textsf{[AB)} \), le crochet est toujours du côté de l'origine (ici le point \( \textsf{A} \)), et la parenthèse du côté illimité.

Définition

On dit qu'un point \( \textsf{A} \) appartient à la demi-droite \( [\textsf{CD}) \) si la demi-droite \( [\textsf{CD}) \) passe par le point \( \textsf{A} \).

On utilise le symbole mathématique \( \in \) signifiant appartient à pour l'écrire :

\[ \textsf{A} \in [\textsf{CD}) \]

On dit qu'un point \( \textsf{B} \) n'appartient pas à la demi-droite \( [\textsf{CD}) \) si la droite \( [\textsf{CD}) \) ne passe pas par le point \( \textsf{B} \).

On utilise le symbole mathématique \( \notin \) signifiant n'appartient pas à pour l'écrire :

\[ \textsf{B} \notin [\textsf{CD}) \]

Remarque

L'origine d'une demi-droite appartient toujours à cette demi-droite: \( \textsf{C} \in [ \textsf{CD}) \).

Définition

Un segment est une partie de droite limitée par deux points de cette droite.

On note \( \textsf{[AB]} \) ou \( \textsf{[BA]} \) le segment d'extrémités \( \textsf{A} \) et \( \textsf{B} \).

On note \( \textsf{AB} \) la longueur du segment \( \textsf{[AB]} \).

Attention

• Ne confonds pas la longueur \( \textsf{AB} \) d'un segment (sans crochet), qui est un nombre avec le segment \( \textsf{[AB]} \), qui est une partie d'une droite.
• Les points \( \textsf{A} \) et \( \textsf{B} \) appartiennent au segment \( \textsf{[AB]} \): \[ \begin{align} \textsf{A} &\in \textsf{[AB]} \\ \textsf{B} &\in \textsf{[AB]}\\ \end{align} \]

Définition

la longueur \( \textsf{AB} \) du segment \( \textsf{[AB]} \) est la mesure du segment. C'est un nombre.

Si deux segments \( \textsf{[AB]} \) et \( \textsf{[CD]} \) ont la même longueur, on écrit:

\[ \textsf{AB}=\textsf{CD} \]

Lorsque des segments ont la même longueur, on le code sur les segments avec des petites figures identiques : un, deux ou trois petits traits, un petit cercle.

Attention

Ne confonds pas la longueur \( \textsf{AB} \) d'un segment (sans crochet), qui est un nombre avec le segment \( \textsf{[AB]} \), qui est une partie d'une droite.

Définition

le milieu \( \text{I} \) du segment \( \textsf{[AB]} \) est l'unique point du segment \( \textsf{[AB]} \) qui vérifie \( \text{I}\textsf{A}=\text{I}\textsf{B} \).

Remarque

Un point est le milieu d'un segment s'il vérifie deux conditions:

• Le point doit appartenir au segment
• Le point est à égale distance des deux extrémités du segment

Par exemple, le point \( \textsf{C} \) du graphique ci-dessous est à égale distance de \( \textsf{A} \) et de \( \textsf{B} \), \( \textsf{CA} = \textsf{CB} \), mais il n'appartient pas au segment \( \textsf{[AB]} \), donc il n'est pas le milieu du segment \( \textsf{[AB]} \).

Définition

Deux droites sont sécantes lorsqu'elles ont un point commun unique.

Attention

Pour que deux droites soient sécantes, elles ne doivent avoir qu'un seul point commun.

Définition

Deux droites sécantes qui se coupent en formant un angle droit sont des droites perpendiculaires.

Le symbole \( \perp \) permet d'indiquer que deux droites sont perpendiculaires:

\[ (d) \perp (d') \]

Sur un graphique, on indique que deux droites sont perpendiculaires en codant l'intersection avec un petit carré.

Définition

Deux droites qui ne sont pas sécantes sont appelées droites parallèles.

On écrit:

\[ (d)~//~(d') \]

pour indiquer que les droites \( (d) \) et \( (d') \) sont parallèles.

Attention

Fais bouger les droites en cliquant dessus : elles restent parallèles, même si elles sont confondues. Dans ce cas elles ont une infinité de points en commun : elles ne sont donc pas sécantes et sont toujours parallèles.

Définition

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.

La médiatrice est l'unique droite \((d)\) qui :

1. coupe le segment \( \textsf{[AB]}\) en sont milieu \( \text{I}\) : \( \text{I} \in (d)\)
2. est perpendiculaire au segment : \( (d) \perp \textsf{[AB]}\)

Rappel

le milieu \( \text{I} \) du segment \( \textsf{[AB]} \) est l'unique point du segment \( \textsf{[AB]} \) qui vérifie \( \text{I}\textsf{A}=\text{I}\textsf{B} \).

Deux droites sécantes qui se coupent en formant un angle droit sont des droites perpendiculaires.

Propriété 1

Cette propriété permet de démontrer que deux droites sont parallèles. La démonstration mathématique se fait en trois étapes:

1. On liste les données du problème : ici \( (d_1) \perp (d) \) et \( (d_2) \perp (d) \)
2. On identifie et applique la propriété à utiliser, ici la propriété 1: Si \( (d_1) \perp (d) \) et \( (d_2) \perp (d) \) alors \( (d_1)~//~(d_2) \).
3. On en déduit le résultat : \( (d_1)~//~(d_2) \)

Remarque

Dans ce cours, tu vois trois propriétés sur les droites. L'objectif est de t'apprendre à faire une démonstration et à choisir la bonne propriété à appliquer pour démontrer un résultat.

Méthode

Pour démontrer que deux droites sont parallèles, on fait une démonstration: on prouve que les droites sont parallèles en utilisant:

1. Les données de l'exercice
2. La propriété 1 vue en cours : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.

Exemple d'exercice

On donne le graphique ci-dessous. Démontre que \( (d_1) \) et \( (d_2) \) sont parallèles.

Pour répondre à l'exercice:

1. Tu listes les données : D'après le graphique \( (d_1) \) est perpendiculaire à \( (d) \) et \( (d_2) \) est perpendiculaire à \( (d) \)
2. Tu identifies et appliques la propriété à utiliser: j'applique la propriété : Si \( (d_1) \perp (d) \) et \( (d_2) \perp (d) \) alors \( (d_1)~//~(d_2) \).
3. Tu écris la conclusion : j'en déduis que \( (d_1) \) est parallèle à \( (d_2) \).

Propriété 2

Cette propriété permet de démontrer que deux droites sont perpendiculaires. La démonstration mathématique se fait en trois étapes:

1. On liste les données du problème : ici \( (d_1)~//~(d) \) et \( (d_2) \perp (d) \)
2. On identifie et applique la propriété à utiliser, ici la propriété 2: Si \( (d_1)~//~(d) \) et \( (d_2) \perp (d) \) alors \( (d_1) \perp (d_2) \).
3. On en déduit le résultat : \( (d_1) \perp (d_2) \)

Remarque

Dans ce cours, tu vois trois propriétés sur les droites. L'objectif est de t'apprendre à faire une démonstration et à choisir la bonne propriété à appliquer pour démontrer un résultat.

Attention

Ne confonds pas la propriété 2 avec la propriété 1 sur les droites, qui permet de démontrer que deux droite sont parallèles : Si \( (d_1)~\perp~(d) \) et \( (d_2) \perp (d) \) alors \( (d_1)~//~(d_2) \).

Méthode

Pour démontrer que deux droites sont perpendiculaires, on fait une démonstration: on prouve que les droites sont perpendiculaires en utilisant:

1. Les données de l'exercice
2. La propriété 2 vue en cours : Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l'une, alors elle est perpendiculaire à l'autre.

Exemple d'exercice

Les droites \((d_1)\) et \( (d) \) du graphique ci-dessous sont parallèles. Démontre que \( (d_1) \) et \( (d_2) \) sont perpendiculaires.

Pour répondre à l'exercice:

1. Tu listes les données : D'après les données de l'exercice, \( (d_1) \) est parallèle à \( (d) \) et \( (d_2) \) est perpendiculaire à \( (d) \)
2. Tu identifies et appliques la propriété à utiliser: j'applique la propriété : Si \( (d_1)~//~(d) \) et \( (d_2) \perp (d) \) alors \( (d_1) \perp (d_2) \).
3. Tu écris la conclusion : j'en déduis que \( (d_1) \) est perpendiculaire à \( (d_2) \).

Remarque

S'il n'y a pas de petit carré à l’intersection de deux droites qui indique qu'elles sont perpendiculaires, tu ne peux pas dire sans le démontrer que les droites sont perpendiculaires: ici, les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) semblent perpendiculaires, mais tu dois démontrer cette affirmation.

Propriété 3

Cette propriété permet de démontrer que deux droites sont parallèles. La démonstration mathématique se fait en trois étapes:

1. On liste les données du problème : ici \( (d_1)~//~(d) \) et \( (d_2)~//~(d) \)
2. On identifie et applique la propriété à utiliser, ici la propriété 3: Si \( (d_1)~//~(d) \) et \( (d_2)~//~(d) \) alors \( (d_1)~//~(d_2) \).
3. On en déduit le résultat : \( (d_1)~//~(d_2) \)

Remarque

Dans ce cours, tu vois trois propriétés sur les droites. L'objectif est de t'apprendre à faire une démonstration et à choisir la bonne propriété à appliquer pour démontrer un résultat.

La propriété 3 peut se démontrer à partir de la propriété 1 et de la propriété 2.

Méthode

Pour démontrer que deux droites sont parallèles, on fait une démonstration: on prouve que les droites sont parallèles en utilisant:

1. Les données de l'exercice
2. La propriété 1 ou la propriété 3 vue en cours : Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles.

Exemple d'exercice

Soit les trois droites ci-dessous. La droite \((d_3)\) est parallèle à \((d_1)\) et à \((d_2)\). Démontre que \( (d_1) \) et \( (d_2) \) sont parallèles.

Pour répondre à l'exercice:

1. Tu listes les données : D'après les données de l'exercice, \( (d_1) \) est parallèle à \( (d_3) \) et \( (d_2) \) est parallèle à \( (d_3) \)
2. Tu identifies et appliques la propriété à utiliser: j'applique la propriété 3: Si \( (d_1)~//~(d_3) \) et \( (d_2)~//~(d_3) \) alors \( (d_1)~//~(d_2) \).
3. Tu écris la conclusion : j'en déduis que \( (d_1) \) est parallèle à \( (d_2) \).