math sixième
Définitions et propriétés
Premières définitions et propriétés de la symétrie axiale
Premières définitions et propriétés de la symétrie axiale
math sixième
Symétrique d'un point et d'une droite
Propriétés et exercices
Propriétés et exercices
math sixième
Symétrique d'un segment et d'un cercle
Propriétés et exercices
Propriétés et exercices
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Axe de symétrie
Axe de symétrie d'une figure
Axe de symétrie d'une figure
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Symétrie axiale - Leçon 1 : Définitions et propriétés
Définition
Le symétrique \( \textsf{F'}\) d'une figure \( \textsf{F} \) par rapport à une droite \( (d) \) est la figure qui se superpose à \( \textsf{F} \) lorsqu'on plie suivant cette droite.
L'application qui transforme la figure \( \textsf{F} \) en \( \textsf{F'} \) s'appelle la symétrie par rapport à la droite \( (d)\).
On parle aussi de symétrie orthogonale, de symétrie axiale ou de réflexion.
Remarques
- Le nom réflexion vient du reflet dans un miroir : ton visage et son reflet sont symétriques
- Il existe d'autres symétries que la symétrie par rapport à une droite, que tu verras en 5ème. C'est pourquoi il faut toujours préciser symétrie par rapport à une droite ou symétrie orthogonale.
Propriété
La symétrie axiale conserve les longueurs, les aires et les mesures d'angles.
Exemple
Le triangle \(\textsf{F'}\) est le symétrique du triangle \( \textsf{F} \) par la symétrie axiale d'axe \( (d) \):- Les longueurs des trois côtés de \(\textsf{F'}\) sont les mêmes que les longueurs des trois côtés de \(\textsf{F}\).
- L'aire de \(\textsf{F'}\) est égale à l'aire de \(\textsf{F}\).
- Les trois angles de \(\textsf{F'}\) sont égaux aux trois angles de \(\textsf{F}\).
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Symétrie axiale - Leçon 2 : Symétrique d'un point et d'une droite
Propriété
Si le point \(\textsf{A'}\) est le symétrique du point \(\textsf{A}\) par la droite \( (d) \), alors:
- La droite \( (d) \) coupe le segment \( \textsf{[AA']}\) en son milieu,
- Le segment \( \textsf{[AA']}\) est perpendiculaire à la droite \( (d)\).
Autrement dit : la droite \( (d) \) est la médiatrice du segment \( \textsf{[AA']}\).
Méthode
Pour construire le symétrique d'un point \( \textsf{A}\) par une droite \( (d) \) :
- Je trace avec mon équerre la perpendiculaire à \( (d) \) passant par le point \( \textsf{A} \).
- Je prolonge avec ma règle la perpendiculaire au delà de la droite \( (d) \). Je note \( \text{I}\) le point à l'intersection des deux droites.
- Je mesure avec mon compas la longueur \( \textsf{A}\text{I} \) et la reporte pour placer dans le prolongement le point \( \textsf{A'} \) tel que \( \textsf{A}\text{I}= \text{I}\textsf{A'}\). Je code ma figure.
Propriété
Si trois points sont alignés, alors leurs symétriques par rapport à une droite sont alignés.
On dit aussi: la symétrie axiale conserve l'alignement.
Soient \( \textsf{A, B, C} \) trois points alignés. Les points \( \textsf{A', B', C'}\), symétriques de \( \textsf{A, B, C} \) par la droite \( (d) \) sont eux aussi alignés.
Propriété
Le symétrique d'une droite par une droite est une droite.
Pour construire le symétrique \( (d') \) d'une droite \( (d) \) par une droite \( (\Delta) \), il suffit de construire le symétrique de deux points quelconque de la droite \( (d) \).
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Symétrie axiale - Leçon 3 : Symétrique d'un segment et d'un cercle
Propriété
Le symétrique d'un segment par une droite est un segment de même longueur.
Cette propriété implique que le symétrique du point d'un segment appartient au symétrique du segment.
Pour construire le symétrique \( \textsf{[A'B']}\) d'un segment \( \textsf{[AB]} \) par une droite \( (\Delta) \), il suffit de construire le symétrique des deux extrémités \( \textsf{A} \) et \( \textsf{B} \) du segment \( \textsf{[AB]} \).
Les segments \( \textsf{[AB]} \) et \( \textsf{[A'B']} \) on la même longueur : \( \textsf{AB}=\textsf{A'B'} \)
Propriétés
Le symétrique d'un cercle \( C \) de centre \( \text{O}\) et de rayon \( r \) par une droite est un cercle \( C' \) de même rayon. Le centre de \( C' \) est le symétrique du centre \( \text{O}\).
Pour construire le symétrique d'un cercle par une droite, il suffit de construire le symétrique du centre du cercle et de tracer un cercle de même rayon.
Remarque
Il y a trois propriétés à te rappeler:- Le symétrique d'un cercle est un cercle,
- Le symétrique du cercle est un cercle de même rayon,
- Le centre de \( \text{C'}\) est le symétrique de \(\text{O}\).
Propriété
Le symétrique d'une demi-droite par une droite est une demi-droite.
Pour construire le symétrique \( \textsf{[A'}x') \) d'une demi-droite \( \textsf{[A}x) \) par une droite \( (\Delta) \), il suffit de construire le symétrique de l'extrémité et d'un point quelconque de la demi-droite.
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Symétrie axiale - Leçon 4 : Axe de symétrie
Définition
Une droite \( (d) \) est un axe de symétrie d'une figure \( \textsf{F}\) si cette figure est son propre symétrique par rapport à \( (d) \).
Remarques
Les deux parties de la figure se superposent lorsqu'on la plie suivant l'axe de symétrie.Si \((d)\) est un axe de symétrie d'une figure, le symétrique de chaque point de la figure par \( (d) \) appartient à la figure.
Une figure peut avoir zéro, un, deux, trois et jusqu'à une infinité d'axes de symétrie.
Propriété
Un segment \( \textsf{[AB]}\) a deux axes de symétrie : la droite \( \textsf{(AB)} \) et la médiatrice du segment \( \textsf{[AB]} \).
Rappel
La médiatrice \( (d) \) d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe en son milieu.Propriétés
Propriété des points de la médiatrice
En notation mathématique : soit \( (d) \) la médiatrice d'un segment \( [\textsf{AB}] \). Si \( \textsf{P} \in (d) \), alors \( \textsf{PA}=\textsf{PB}.\)
Propriété des points équidistants
En notation mathématique : soit \( (d) \) la médiatrice d'un segment \( [\textsf{AB}] \). si \( \textsf{QA}=\textsf{QB}\) alors \( \textsf{Q} \in (d). \)
Attention
Si deux points distincts \( \textsf{P} \) et \( \textsf{Q} \) appartiennent à la médiatrice de \( [\textsf{AB}] \), alors \( \textsf{PA}=\textsf{PB}\) et \( \textsf{QA}=\textsf{QB}\), mais aussi : \( \textsf{PA}\ne \textsf{QA}\) ! Regarde bien la figure si tu as un doute.
Vocabulaire
Un point est équidistant de deux ou plusieurs points s'il est à égale distance de ces points. Par exemple, le centre d'un cercle est équidistant des points du cercle.
Rappel
La médiatrice \( (d) \) d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe en son milieu.
Méthode
Construction de la médiatrice d'un segment
Grâce à la propriété : Si un point est équidistant (à égale distance) des extrémités d'un segment, alors ce point appartient à la médiatrice du segment, on peut tracer très précisément la médiatrice d'un segment:- Je trace avec mon compas un cercle de centre une extrémité du segment, de rayon supérieur à la moitié de la longueur du segment.
- Je trace un second cercle, de même rayon que le premier, de centre l'autre extrémité du segment.
- Les deux cercles se coupent en deux points équidistants des extrémités : je trace la médiatrice qui passe par ces deux points.
Le plus important
Pour que les deux points soient équidistants des extrémités du segment, il faut que les deux cercles aient exactement le même rayon ; fais attention à ne pas bouger l'écartement de ton compas pour le deuxième cercle.
Propriété
Un triangle isocèle a un axe de symétrie, la médiatrice de sa base.
Rappel
Soit un triangle \( \textsf{ABC} \) isocèle en \( \textsf{C} \) :- Les longueurs des côtés \(\textsf{[AC]}\) et \(\textsf{[BC]}\) sont égales.
- Le point \( \textsf{C}\) est le sommet principal du triangle isocèle.
- Le côté \( \textsf{[AB]}\) opposé au sommet principal est la base du triangle isocèle.
- Les mesures des angles \( \widehat{\textsf{CAB}}\) et \( \widehat{\textsf{ABC}}\) sont égales.
Propriété
Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie, les trois médiatrices de ses côtés.
Rappel
Soit un triangle \( \textsf{ABC} \) équilatéral :
- Les longueurs de ses trois côtés sont égales.
- Les mesures de ses trois angles sont égales.