math sixième

Définitions et propriétés


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Symétrique d'un point et d'une droite


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Symétrique d'un segment et d'un cercle


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Axe de symétrie


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Symétrie axiale - Leçon 1 : Définitions et propriétés


Définition

Le symétrique \( \textsf{F'}\) d'une figure \( \textsf{F} \) par rapport à une droite \( (d) \) est la figure qui se superpose à \( \textsf{F} \) lorsqu'on plie suivant cette droite.
L'application qui transforme la figure \( \textsf{F} \) en \( \textsf{F'} \) s'appelle la symétrie par rapport à la droite \( (d)\).
On parle aussi de symétrie orthogonale, de symétrie axiale ou de réflexion.

Remarques

  1. Le nom réflexion vient du reflet dans un miroir : ton visage et son reflet sont symétriques
  2. Il existe d'autres symétries que la symétrie par rapport à une droite, que tu verras en 5ème. C'est pourquoi il faut toujours préciser symétrie par rapport à une droite ou symétrie orthogonale.


Propriété

La symétrie axiale conserve les longueurs, les aires et les mesures d'angles.

Exemple

Le triangle \(\textsf{F'}\) est le symétrique du triangle \( \textsf{F} \) par la symétrie axiale d'axe \( (d) \):
  • Les longueurs des trois côtés de \(\textsf{F'}\) sont les mêmes que les longueurs des trois côtés de \(\textsf{F}\).
  • L'aire de \(\textsf{F'}\) est égale à l'aire de \(\textsf{F}\).
  • Les trois angles de \(\textsf{F'}\) sont égaux aux trois angles de \(\textsf{F}\).



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Symétrie axiale - Leçon 2 : Symétrique d'un point et d'une droite


Propriété

Si le point \(\textsf{A'}\) est le symétrique du point \(\textsf{A}\) par la droite \( (d) \), alors:

  • La droite \( (d) \) coupe le segment \( \textsf{[AA']}\) en son milieu,
  • Le segment \( \textsf{[AA']}\) est perpendiculaire à la droite \( (d)\).

Autrement dit : la droite \( (d) \) est la médiatrice du segment \( \textsf{[AA']}\).



Méthode

Pour construire le symétrique d'un point \( \textsf{A}\) par une droite \( (d) \) :

  1. Je trace avec mon équerre la perpendiculaire à \( (d) \) passant par le point \( \textsf{A} \).
  2. Je prolonge avec ma règle la perpendiculaire au delà de la droite \( (d) \). Je note \( \text{I}\) le point à l'intersection des deux droites.
  3. Je mesure avec mon compas la longueur \( \textsf{A}\text{I} \) et la reporte pour placer dans le prolongement le point \( \textsf{A'} \) tel que \( \textsf{A}\text{I}= \text{I}\textsf{A'}\). Je code ma figure.


Propriété

Si trois points sont alignés, alors leurs symétriques par rapport à une droite sont alignés.
On dit aussi: la symétrie axiale conserve l'alignement.

Soient \( \textsf{A, B, C} \) trois points alignés. Les points \( \textsf{A', B', C'}\), symétriques de \( \textsf{A, B, C} \) par la droite \( (d) \) sont eux aussi alignés.



Propriété

Le symétrique d'une droite par une droite est une droite.
Pour construire le symétrique \( (d') \) d'une droite \( (d) \) par une droite \( (\Delta) \), il suffit de construire le symétrique de deux points quelconque de la droite \( (d) \).




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Symétrie axiale - Leçon 3 : Symétrique d'un segment et d'un cercle


Propriété

Le symétrique d'un segment par une droite est un segment de même longueur.
Cette propriété implique que le symétrique du point d'un segment appartient au symétrique du segment.

Pour construire le symétrique \( \textsf{[A'B']}\) d'un segment \( \textsf{[AB]} \) par une droite \( (\Delta) \), il suffit de construire le symétrique des deux extrémités \( \textsf{A} \) et \( \textsf{B} \) du segment \( \textsf{[AB]} \).
Les segments \( \textsf{[AB]} \) et \( \textsf{[A'B']} \) on la même longueur : \( \textsf{AB}=\textsf{A'B'} \)

Sur la figure, le symétrique \( \textsf{M'}\) d'un point \( \textsf{M}\) quelconque du segment \( \textsf{[AB]} \) appartient au symétrique \( \textsf{[A'B']} \) du segment \( \textsf{[AB]} \).


Propriétés

Le symétrique d'un cercle \( C \) de centre \( \text{O}\) et de rayon \( r \) par une droite est un cercle \( C' \) de même rayon. Le centre de \( C' \) est le symétrique du centre \( \text{O}\).

Pour construire le symétrique d'un cercle par une droite, il suffit de construire le symétrique du centre du cercle et de tracer un cercle de même rayon.

Remarque

Il y a trois propriétés à te rappeler:
  1. Le symétrique d'un cercle est un cercle,
  2. Le symétrique du cercle est un cercle de même rayon,
  3. Le centre de \( \text{C'}\) est le symétrique de \(\text{O}\).


Propriété

Le symétrique d'une demi-droite par une droite est une demi-droite.
Pour construire le symétrique \( \textsf{[A'}x') \) d'une demi-droite \( \textsf{[A}x) \) par une droite \( (\Delta) \), il suffit de construire le symétrique de l'extrémité et d'un point quelconque de la demi-droite.




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Symétrie axiale - Leçon 4 : Axe de symétrie


Définition

Une droite \( (d) \) est un axe de symétrie d'une figure \( \textsf{F}\) si cette figure est son propre symétrique par rapport à \( (d) \).

Remarques

Les deux parties de la figure se superposent lorsqu'on la plie suivant l'axe de symétrie.
Si \((d)\) est un axe de symétrie d'une figure, le symétrique de chaque point de la figure par \( (d) \) appartient à la figure.
Une figure peut avoir zéro, un, deux, trois et jusqu'à une infinité d'axes de symétrie.

Propriété

Un segment \( \textsf{[AB]}\) a deux axes de symétrie : la droite \( \textsf{(AB)} \) et la médiatrice du segment \( \textsf{[AB]} \).

Rappel

La médiatrice \( (d) \) d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe en son milieu.

Propriétés

Propriété des points de la médiatrice

Si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors ce point est équidistant (à égale distance) des extrémités de ce segment.
En notation mathématique : soit \( (d) \) la médiatrice d'un segment \( [\textsf{AB}] \). Si \( \textsf{P} \in (d) \), alors \( \textsf{PA}=\textsf{PB}.\)

Propriété des points équidistants

Si un point est équidistant (à égale distance) des extrémités d'un segment, alors ce point appartient à la médiatrice du segment.
En notation mathématique : soit \( (d) \) la médiatrice d'un segment \( [\textsf{AB}] \). si \( \textsf{QA}=\textsf{QB}\) alors \( \textsf{Q} \in (d). \)

Attention

Si deux points distincts \( \textsf{P} \) et \( \textsf{Q} \) appartiennent à la médiatrice de \( [\textsf{AB}] \), alors \( \textsf{PA}=\textsf{PB}\) et \( \textsf{QA}=\textsf{QB}\), mais aussi : \( \textsf{PA}\ne \textsf{QA}\) ! Regarde bien la figure si tu as un doute.

Vocabulaire

Un point est équidistant de deux ou plusieurs points s'il est à égale distance de ces points. Par exemple, le centre d'un cercle est équidistant des points du cercle.

Rappel

La médiatrice \( (d) \) d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe en son milieu.



Méthode

Construction de la médiatrice d'un segment

Grâce à la propriété : Si un point est équidistant (à égale distance) des extrémités d'un segment, alors ce point appartient à la médiatrice du segment, on peut tracer très précisément la médiatrice d'un segment:
  1. Je trace avec mon compas un cercle de centre une extrémité du segment, de rayon supérieur à la moitié de la longueur du segment.
  2. Je trace un second cercle, de même rayon que le premier, de centre l'autre extrémité du segment.
  3. Les deux cercles se coupent en deux points équidistants des extrémités : je trace la médiatrice qui passe par ces deux points.
En pratique, on ne trace pas complètement les deux cercles, mais juste les arcs de cercles qui se croisent.

Le plus important

Pour que les deux points soient équidistants des extrémités du segment, il faut que les deux cercles aient exactement le même rayon ; fais attention à ne pas bouger l'écartement de ton compas pour le deuxième cercle.



Propriété

Un triangle isocèle a un axe de symétrie, la médiatrice de sa base.

Rappel

Soit un triangle \( \textsf{ABC} \) isocèle en \( \textsf{C} \) :
  • Les longueurs des côtés \(\textsf{[AC]}\) et \(\textsf{[BC]}\) sont égales.
  • Le point \( \textsf{C}\) est le sommet principal du triangle isocèle.
  • Le côté \( \textsf{[AB]}\) opposé au sommet principal est la base du triangle isocèle.
  • Les mesures des angles \( \widehat{\textsf{CAB}}\) et \( \widehat{\textsf{ABC}}\) sont égales.


Propriété

Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie, les trois médiatrices de ses côtés.

Rappel

Soit un triangle \( \textsf{ABC} \) équilatéral :

  • Les longueurs de ses trois côtés sont égales.
  • Les mesures de ses trois angles sont égales.