math sixième

Le cercle


math sixième

Les angles, définitions


math sixième

Comparer les angles


math sixième

Manipuler les angles


https://futuramath.fr - ©futuramath 2017-2018

cercle, angles - Leçon 1 : Le cercle


Définition

Un cercle \( C \) de centre \( \text{O} \) et de rayon \( r \) est l'ensemble des points \( \textsf{M} \) à distance \( r \) de \( \text{O} \).

On a donc, par définition du cercle \( C\) de centre \( \text{O}\):

  • Si \( \textsf{M} \in C \) alors \( \text{O}\textsf{M} = r\)
  • Si \( \text{O}\textsf{M} = r\) alors \( \textsf{M} \in C \)

Attention

Le centre \( \text{O}\) du cercle n'appartient pas au cercle !



Définition

Une corde du cercle \( C \) est un segment dont les extrémités sont deux points du cercle \( C \).

Un diamètre du cercle \( C \) est une corde passant par le centre du cercle.

Ici, le segment \(\textsf{[BA]}\) est un diamètre du cercle. Le segment \( \textsf{[MN]}\) est une corde du cercle.

Remarques

Le diamètre du cercle est la longueur de chaque diamètre du cercle : Quand on parle d'un diamètre, il s'agit d'un segment, et quand on parle du diamètre, il s'agit d'une longueur.

Le diamètre est égale à deux fois le rayon du cercle.

Une corde a toujours une longueur inférieure ou égale au diamètre.

Par définition, le centre du cercle appartient à tous les diamètres du cercle.



Définition

Une arc de cercle est la plus petite partie du cercle comprise entre deux points du cercle.

L'arc de cercle entre les points \( \textsf{A} \) et \( \textsf{B} \) se note \( \overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{\textsf{AB}} \) .

Il est dessiné en rouge sur le cercle ci-dessous.

Remarque

Il ne faut pas confondre la corde \( \textsf{[AB]}\), en bleu sur le graphique avec l'arc de cercle \( \overset{\mmlToken{mo}{⏜}}{\textsf{AB}} \), en rouge ici.



Définition

Deux cercles sont concentriques s'ils ont le même centre.

Les cercles \( C \) et \( C'\) sont concentriques de centre \( \text{O} \).




https://futuramath.fr - ©futuramath 2017-2018

cercle, angles - Leçon 2 : Les angles, définitions


Définition

Un angle est une portion du plan délimitée par deux demi-droites de même origine.
Les deux demi-droites sont les côtés de l'angle.
L'origine des deux demi-droites est le sommet de l'angle.

Remarque

Sur les graphiques la longueur des demi-droites utilisées pour représenter un angle n'a pas d'importance.
On représente l'angle par une portion de cercle entre les deux demi-droites. Quand l'angle est un angle droit, on le représente par un carré.



Notation

Un angle se note généralement avec trois lettres :

  • Soit on utilise le sommet et deux points des deux côtés de l'angle, par exemple \(\textsf{A}, \textsf{B}\). L'angle se note \( \widehat{\textsf{AOB}} \) ou \( \widehat{\textsf{BOA}} \).
  • Soit on utilise le sommet et les extrémités illimitées des demi-droites, ici \( x \) et \(y\). L'angle se note \( \widehat{x\text{O}y}\) ou \( \widehat{y\text{O}x}\).

Le sommet se trouve toujours au milieu.



Définition

L' unité de mesure d'un angle est le degré. La mesure d'un angle permet de mesurer l'écartement entre ses deux côtés. Le degré se note ° .

"L'angle \( \widehat{\textsf{AOB}}\) mesure \( 45° \)" se dit L'angle A O B mesure 45 degré.

On utilise un rapporteur pour mesurer un angle: on place le centre du rapporteur sur le sommet de l'angle, et une graduation \( 0 \) sur un des côtés de l'angle. On lit la mesure de l'angle sur la graduation.

Remarque

Comme sur le graphique, un rapporteur a souvent deux graduations, dans les deux sens : ne te trompe pas de graduation, prends celle avec le \( 0 \) sur un des côtés.



Définition

On classe les angles en quatre catégories:

  • La mesure d'un angle aigu est inférieure à \(90°\)
  • La mesure d'un angle droit est égale à \(90°\)
  • La mesure d'un angle obtus est supérieure à \(90°\)
  • La mesure d'un angle plat est égale à \(180°\)

Remarque

Attention à l'ortographe: un angle aigu (sans s au singulier); un angle obtus (toujours avec un s, même au singulier).

Un angle nul est un angle de mesure \( 0° \) : c'est un angle complètement fermé.




https://futuramath.fr - ©futuramath 2017-2018

cercle, angles - Leçon 3 : Comparer les angles


Définition

Deux angles sont égaux lorsqu'ils ont même mesure.
Sur la figure, les angles \( \widehat{\textsf{AOB}}\) et \( \widehat{\textsf{DEF}}\) sont égaux. Ils ont tous les deux une mesure de \( 30° \):

\[ \widehat{\textsf{AOB}} = \widehat{\textsf{DEF}}\]

Remarque

Les longueurs des côtés de l'angle et la position du sommet n'ont pas d'importance pour déterminer si deux angles sont égaux.



Notation

Comme pour les segments, on code les angles égaux sur les figures à l'aide de un ou plusieurs tirets ou arcs de cercle. Si deux (ou plus) angles ont la même marque sur une figure, ils sont égaux.



Définition

Comparer deux angles c'est comparer leur mesure.
Si la mesure d'un angle \(\widehat{x\textsf{A}y}\) est plus petite que celle d'un angle \(\widehat{u\textsf{B}v}\), on dit que l'angle \(\widehat{x\textsf{A}y}\) est plus petit que l'angle \(\widehat{u\textsf{B}v}\).
Si la mesure d'un angle \(\widehat{\textsf{MKL}}\) est plus grande que celle d'un angle \(\widehat{\textsf{AOB}}\), on dit que l'angle \(\widehat{\textsf{MKL}}\) est plus grand que l'angle \(\widehat{\textsf{AOB}}\).

Remarque

Les longueurs des côtés de l'angle et la position du sommet n'ont pas d'importance pour comparer deux angles.




https://futuramath.fr - ©futuramath 2017-2018

cercle, angles - Leçon 4 : Manipuler les angles


Définition

Deux angles sont adjacents si:

  1. Ils ont le même sommet.
  2. Ils ont un côté en commun.
  3. Ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun.

Les angles \( \widehat{x\text{O}y}\) et \( \widehat{y\text{O}z}\) sont adjacents.



Propriété

La mesure de l'angle formé par deux angles adjacents est la somme des mesures des deux angles.

C'est à dire, si \( \widehat{x\text{O}y}\) et \( \widehat{y\text{O}z}\) sont adjacents alors on calcule la mesure de \( \widehat{x\text{O}z}\) en sommant celles de \( \widehat{x\text{O}y}\) et \( \widehat{y\text{O}z}\) :

\[\widehat{x\text{O}y} + \widehat{y\text{O}z} = \widehat{x\text{O}z}\]

Remarque

Si les deux angles ne sont pas adjacents, tu ne peux pas additionner leur mesure!