math sixième

Définitions


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Le losange


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Le rectangle


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Le carré


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Les quadrilatères - Leçon 1 : Définitions


Définition

Un quadrilatère \( \textsf{ABCD}\) est une figure fermée formée par quatre points reliés par quatre segments.
Les quatre points sont les quatre sommets du quadrilatère. Les quatre segments sont les quatre côtés du quadrilatère.
Un quadrilatère a quatre angles notés \( \widehat{\textsf{BAD}}, \widehat{\textsf{ADC}}, \widehat{\textsf{DCB}}\) et \( \widehat{\textsf{CBA}}\) ou \( \widehat{\textsf{A}}, \widehat{\textsf{B}}, \widehat{\textsf{C}}\) et \(\widehat{\textsf{D}}\).

Remarques

  • Une figure plate fermée limitée par plusieurs segments s'appelle un polygone: un quadrilatère est un polygone à quatre côtés.
  • Les losanges, rectangles et carrés sont des quadrilatères particuliers.


Vocabulaire

Pour nommer un quadrilatère, on part d'un sommet quelconque et on parcourt dans un sens ou dans l'autre le quadrilatère. Il y a toujours huit façons différentes de nommer un quadrilatère.
Par exemple, le quadrilatère ci-dessous peut se nommer \( \textsf{DEFG}\) si on part du sommet \(\textsf{D}\).

Mais il peut aussi se nommer \( \textsf{DGFE}\) si on le parcourt dans l'autre sens, ou encore, si on commence par les autres sommets : \( \textsf{EFGD, EDGF, FGDE, FEDG, GDEF, GFED}\).

Vocabulaire

Soit le quadrilatère \( \textsf{ABCD}\) ci-dessous.

Les deux sommets d'un même côté sont consécutifs. Deux sommets qui ne sont pas consécutifs sont opposés.
Ici, par exemple, les sommets \( \textsf{A}\) et \(\textsf{B}\) sont consécutifs; les sommets \(\textsf{A}\) et \(\textsf{C}\) sont opposés.
Deux côtés qui n'ont aucun sommets en commun sont opposés. Ici, les côtés \( [\textsf{AB}]\) et \( [\textsf{CD}]\) sont opposés, tout comme les côtés \( [\textsf{AD}]\) et \( [\textsf{BC}]\).
Deux angles sont opposés si leurs sommets sont opposés. Ici, les angles \( \widehat{\textsf{BAD}}\) et \( \widehat{\textsf{DCB}}\) sont opposés.



Définition

Les deux diagonales d'un quadrilatère sont les deux segments dont les extrémités sont les sommets opposés du quadrilatère.

Les deux diagonales du quadrilatère \( \textsf{ABCD}\) sont les segments \( [\textsf{AC}]\) et \([\textsf{BD}]\).


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Les quadrilatères - Leçon 2 : Le losange


Définition

Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.

Les segments \( \textsf{[AB]}, \textsf{[BC]}, \textsf{[CD]}, \textsf{[DA]}\) ont la même longueur, donc le quadrilatère \( \textsf{ABCD}\) est un losange.

Propriétés

Si un quadrilatère est un losange:
  1. Ses diagonales sont perpendiculaires.
  2. Ses diagonales se coupent en leur milieu.
  3. Chaque diagonale est la médiatrice de l'autre.
  4. Ses diagonales sont ses deux axes de symétrie.
  5. Ses angles opposés sont égaux.

Remarque

Tu as cinq propriétés à retenir sur les losanges. Ces propriétés sont utilisées pour construire facilement des losanges et vérifier la précision des tracés.
Ne confonds pas les caractéristiques qui définissent un losange (ses quatre côtés ont même longueur) de ses cinq propriétés, qui se déduisent des caractéristiques du losange.

Propriété

Si un quadrilatère a :
  1. ses diagonales qui sont perpendiculaires,
  2. et ses diagonales qui se coupent en leur milieu.
alors ce quadrilatère est un losange.

Les deux diagonales du quadrilatère \( \textsf{ABCD} \) sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Le quadrilatère \( \textsf{ABCD}\) est donc un losange.

Remarque

Cette propriété est admise en 6ème. Elle permet de prouver qu'un quadrilatère a ses côtés de même longueur (la définition d'un losange) si ses diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu.

Attention

Il faut que les deux conditions soient respectées pour prouver que le quadrilatère est un losange.



Méthode 1

Les méthodes pour construire un losange utilisent les propriétés du losange. Elles dépendent des données de l'exercice.
Pour construire un losange à partir des longueurs des deux diagonales, on utilise la propriété : chaque diagonale d'un losange est la médiatrice de l'autre.

Énoncé de l'exercice

Construis au compas et à la règle graduée un losange \( \textsf{ABCD} \) tel que \( {\textsf{AC}}=6~\text{cm}\) et \(\textsf{BD}=3~\text{cm}\).

Méthode de résolution de l'exercice

Étape 1: tu traces sur ton brouillon le losange avec le codage des données de l'exercice. Ici \( \textsf{A, B, C}\) et \( \textsf{D}\) sont les quatre sommets successifs du losange, donc les données sont les longueurs des deux diagonales.
Étape 2: tu traces un segment horizontale \( \textsf{[AC]}\) de longueur 6 centimètres: c'est la première diagonale du losange.
Étape 3: tu traces au compas la médiatrice de la diagonale en joignant les deux intersections de deux cercles de même rayon de centres les extrémités de \(\textsf{[AC]}\): c'est la deuxième diagonale, médiatrice de la première.
Étape 4: Il ne reste plus qu'à mesurer sur la médiatrice la moitié de la longueur de la deuxième diagonale ( \(1,\!5\) centimètre) de part et d'autre du point d'intersection pour trouver les sommets \(\textsf{B}\) et \(\textsf{D}\). N'oublie pas de coder le losange : les côtés ont même longueur, les diagonales se coupent perpendiculairement au milieu.

Remarques

1) Quand tu as fini ta construction, vérifie toujours que ton losange a ses côtés de même longueur et ses diagonales perpendiculaires!
2) Pour tracer la médiatrice du segment, tu n'es pas obligé de tracer complètement les deux cercles : trace juste les arcs de cercles à l'endroit des intersections.
3) Attention à ne pas confondre les intersections des deux cercles et les deux sommets du losange!



Méthode 2

Les méthodes pour construire un losange utilisent les propriétés du losange et dépendent des données de l'exercice.
Pour construire un losange à partir de la longueur d'un côté et d'une diagonale, on utilise la définition : un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur.

Énoncé de l'exercice

Construis un losange \( \textsf{ABCD} \) tel que \( {\textsf{AC}}=6~\text{cm}\) et \(\textsf{AB}=4~\text{cm}\).

Méthode de résolution de l'exercice

Étape 1: tu traces sur ton brouillon le losange avec le codage des données de l'exercice. Ici \( \textsf{A, B, C}\) et \( \textsf{D}\) sont les quatre sommets successifs du losange, donc les données sont la longueurs de la diagonale \(\textsf{[AC]}\) et la longueur du côté \( \textsf{[AB]}\). Comme tous les côtés d'un losange ont même longueur, on connait la longueur de tous les côtés!
Étape 2: tu traces un segment horizontale \( \textsf{[AC]}\) de longueur 6 centimètres: c'est la première diagonale du losange.
Étape 3: les quatre côtés ont tous la même longueur, donc la distance entre \(\textsf{A}\) et \(\textsf{B}\) et entre \(\textsf{C}\) et \(\textsf{B}\) est égale à \(4~\text{cm}\). Tu traces au compas deux cercles de rayon \(4~\text{cm}\) de centres \(\textsf{A}\) et \(\textsf{C}\). Les deux intersection des deux cercles te donnent les sommets \(\textsf{B}\) et \(\textsf{D}\).
Étape 4: il ne reste plus qu'à noter les sommets \(\textsf{B}\) et \(\textsf{D}\) aux deux intersections des cercles et à tracer les côtés du losange. N'oublie pas de coder ton losange : les côtés ont même longueur.

Remarque

Quand tu as fini ta construction, vérifie toujours que ton losange a ses côtés de même longueur et ses diagonales perpendiculaires!




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Les quadrilatères - Leçon 3 : Le rectangle


Définition

Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

Les angles \( \widehat{\textsf{BAD}}, \widehat{\textsf{ADC}}, \widehat{\textsf{DCB}}, \widehat{\textsf{CBA}}\) sont droits, donc le quadrilatère \( \textsf{ABCD}\) est un rectangle.

Propriété

Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c'est un rectangle.

Remarque

Avec cette propriété, il suffit de montrer qu'un quadrilatère a trois angles droits pour prouver que ce quadrilatère est un rectangle, et que le quatrième angle est aussi un angle droit.



Propriétés

Si un quadrilatère est un rectangle:
  1. Ses diagonales ont la même longueur.
  2. Ses diagonales se coupent en leur milieu.

Soit \(\textsf{ABCD}\) un rectangle et \( \textsf{M} \) le milieu de ses diagonales. Les propriétés sur ses diagonales impliquent que : \( \textsf{MA}=\textsf{MB}=\textsf{MC}=\textsf{MD}\).



Propriétés

Si un quadrilatère est un rectangle:
  1. Ses côtés opposés ont la même longueur.
  2. Ses côtés opposés sont parallèles.

Soit \(\textsf{ABCD}\) un rectangle. Les propriétés sur ses côtés impliquent que: \( \textsf{AD}=\textsf{BC}\), \(\textsf{AB}=\textsf{CD}\), \( \textsf{[AD]}~//\textsf{[BC]}\), \(\textsf{[AB]}~//~\textsf{[CD]}.\)



Propriété

Si un quadrilatère a:
  1. ses diagonales de la même longueur,
  2. ses diagonales qui se coupent en leur milieu,
alors c'est un rectangle.

Remarque

Il faut que les deux propriétés soient vérifiées pour qu'un quadrilatère soit un rectangle.



Méthode

Les méthodes pour construire un rectangle utilisent les propriétés du rectangle et dépendent des données de l'exercice.
Pour construire un rectangle à partir de la longueur d'une diagonale et de la longueur d'un côté en n'utilisant pas ton équerre, on utilise les propriétés : les diagonales d'un rectangle ont la même longueur et les diagonales d'un rectangle se coupent en leur milieu.

Enoncé de l'exercice

Construis sans utiliser l'équerre un rectangle \( \textsf{ABCD} \) tel que \( {\textsf{AC}}=6~\text{cm}\) et \(\textsf{AD}=4~\text{cm}\).

Méthode de résolution de l'exercice

Etape 1: tu traces sur ton brouillon le rectangle avec le codage des données de l'exercice. Ici \( \textsf{A, B, C}\) et \( \textsf{D}\) sont les quatre sommets successifs du rectangle, donc les données sont la longueur d'une diagonale et la longueur d'un côté.
Etape 2: Tu traces un segment horizontale \( \textsf{[AC]}\) de longueur 6 centimètres: c'est la première diagonale du rectangle.
Etape 3: Tu sais que les diagonales d'un rectangle ont même milieu et même longueur. Tu traces donc le milieu du segment \(\textsf{[AC]}\) et un cercle de rayon 3cm (la moitié de la longueur des diagonales) de centre le milieu du segment : la deuxième diagonale du rectangle est un diamètre de ce cercle, donc les points \(\textsf{B}\) et \( \textsf{D}\) appartiennent à ce cercle.
Etape 4:Tu sais aussi que le côté \(\textsf{[AD]}\) mesure 4cm, donc tu traces un second cercle de centre \(\textsf{A}\) de rayon 4cm. Le point \( \textsf{D}\) appartient aux deux cercles, il se trouve à une des deux intersections des deux cercles. Tu choisis celle que tu veux.
Etape 5: Tu peux maintenant tracer la deuxième diagonale : c'est le diamètre du premier cercle passant par \(\textsf{D}\). Le point \(\textsf{B}\) est l'autre extrémité du diamètre. Il ne te reste plus qu'à tracer les côtés du rectangle.

Remarque

1) On est obligé de commencer par tracer une diagonale : la construction s'appuie sur un cercle de centre le milieu de la diagonale. En commençant par tracer un côté du rectangle, on ne pourrait pas tracer le cercle de rayon 3cm.
2) Attention :le rayon du premier cercle est égal à la moitié de la longueur d'une diagonale, mais le rayon du deuxième cercle est égale à la longueur d'un côté.




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Les quadrilatères - Leçon 4 : Le carré


Définition

Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.
Autrement dit : un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et dont les côtés ont la même longueur.

Les angles \( \widehat{\textsf{BAD}}, \widehat{\textsf{ADC}}, \widehat{\textsf{DCB}}, \widehat{\textsf{CBA}}\) sont droits et \( \textsf{AB}=\textsf{BC}=\textsf{CD}=\textsf{DA}\) donc le quadrilatère \( \textsf{ABCD}\) est un carré.



Propriétés

Un carré a les propriétés du rectangle et les propriétés du losange:
  1. Ses côtés opposés ont la même longueur.
  2. Ses côtés opposés sont parallèles.
  3. Ses diagonales ont la même longueur.
  4. Ses diagonales se coupent en leur milieu.
  5. Ses diagonales sont perpendiculaires.


Propriétés

Un carré a quatre axes de symétrie : ses deux diagonales et les deux médiatrices de deux côtés consécutifs.
Un carré a les axes de symétrie du losange (les diagonales) et du rectangle (les médiatrices de deux côtés consécutifs).

Remarque

On parle dans la propriété des médiatrices de deux côtés consécutifs: c'est pour être précis et décrire les deux médiatrices différentes des côtés du carré. Les médiatrices des côtés opposés sont identiques.



Propriété

Si un losange a un angle droit, alors c'est un carré.

Rappel

Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux.

Utilisation

Avec cette propriété, tu n'as pas besoin de montrer que les quatre angles d'un quadrilatère sont droits pour prouver que c'est un carré, si tu sais déjà que ses côtés ont même longueur.



Propriété

Un quadrilatère dont :

  1. les diagonales se coupent en leur milieu,
  2. les diagonales ont même longueur,
  3. les diagonales sont perpendiculaires,
est un carré.