math sixième

Triangles isocèles


math sixième

Triangles rectangles et équilatérals


math sixième

Construire un triangle


math sixième

Démonstrations avec les triangles


https://futuramath.fr - ©futuramath 2017-2018

Le triangle - Leçon 1 : Triangles isocèles


Définition

Un triangle \( \textsf{ABC}\) est une figure formée par trois points \( \textsf{A, B, C}\) reliés par trois segments.
Les trois points sont les trois sommets du triangle. Les trois segments sont les trois côtés du triangle.
Un triangle a trois angles notés \( \widehat{\textsf{CAB}}, \widehat{\textsf{ABC}}, \widehat{\textsf{BCA}}\) ou \( \widehat{\textsf{A}}, \widehat{\textsf{B}}, \widehat{\textsf{C}}\)

Remarques

  • Triangle veut dire trois-angles.
  • Il existe de nombreuses propriétés associées aux triangles. Elles sont utilisées au collège pour t'apprendre à faire des démonstrations mathématiques.


Définition

Un triangle isocèle a au moins deux côtés de même longueur.

Un triangle \( \textsf{ABC} \) est isocèle en \(\textsf{A}\) si ses deux côtés \( [\textsf{AB}]\) et \( [\textsf{AC}]\) ont même longueur. Dans ce cas:

  • Le point \( \textsf{A} \) est le sommet principal du triangle isocèle
  • Le côté \( [\textsf{BC}]\) s'appelle la base du triangle isocèle


Propriété du triangle isocèle

Si un triangle \( \textsf{ABC} \) est isocèle en \( \textsf{A} \), alors les deux angles \( \widehat{\textsf{B}} \) et \( \widehat{\textsf{C}} \) sont égaux:
\[ \widehat{\textsf{B}} = \widehat{\textsf{C}} \]
Les deux angles \( \widehat{\textsf{B}} \) et \( \widehat{\textsf{C}} \) sont les angles à la base.

Propriété réciproque

Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.

Important

Cette dernière propriété te permet de démontrer qu'un triangle est isocèle s'il a deux angles égaux. Tu as donc deux méthodes pour démontrer qu'un triangle est isocèle:
  • Soit un partant de la définition, en montrant que deux côtés du triangle ont la même longueur.
  • Soit en utilisant la propriété réciproque, en montrant que deux angles du triangle sont égaux.



https://futuramath.fr - ©futuramath 2017-2018

Le triangle - Leçon 2 : Triangles rectangles et équilatérals


Définition

Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur.

Un triangle équilatéral est donc un triangle isocèle particulier.

Un triangle équilatéral \( \textsf{ABC} \) est isocèle en \(\textsf{A}\) , en \(\textsf{B}\) et en \(\textsf{C}\).



Propriétés du triangle équilatéral

Si un triangle est équilatéral alors ses trois angles ont la même mesure.

Propriété réciproque

Si un triangle a ses trois angles égaux, alors il est équilatéral.

Important

Cette propriété réciproque te permet de démontrer qu'un triangle est équilatéral si ses trois angles ont la même mesure.


Définition

Un triangle rectangle a un angle droit.

Un triangle \( \textsf{ABC} \) est rectangle en \(\textsf{A}\) si l'angle \( \widehat{\textsf{A}} \) est un angle droit.



Définition

Un triangle rectangle isocèle est un triangle isocèle dont le sommet principal est un angle droit: il est à la fois rectangle et isocèle.

Remarques

  • Un triangle isocèle ne peut être rectangle qu'en son sommet principal.
  • Un triangle quelconque est un triangle qui n'a aucune propriété particulière.
  • Un triangle ne peut pas être à la fois rectangle et équilatéral. Pour t'en persuader, essaie de construire un triangle avec trois angles droits....



https://futuramath.fr - ©futuramath 2017-2018

Le triangle - Leçon 3 : Construire un triangle


Méthode

Construire ou reproduire un triangle c'est tracer un triangle avec des propriétés particulières.
Suivant les propriétés du triangle, tu peux avoir besoin :

  • d'une règle graduée
  • d'un rapporteur
  • d'un compas

Pour construire un triangle:

  • Tu commences par tracer au brouillon à la main le triangle en codant les propriétés du triangle
  • Tu utilises tes instruments pour tracer la figure en t'aidant de la figure tracée à la main.



Méthode 1

La méthode pour construire un triangle dépend des données de l'exercice.
Pour construire un triangle à partir de la longueur d'un côté et de deux angles, tu as besoin d'une règle graduée et d'un rapporteur.

Énoncé de l'exercice

Construis un triangle \( \textsf{ABC} \) tel que \( \textsf{AB}=4~\text{cm}\), \(\widehat{\textsf{A}}=50°, \widehat{\textsf{B}}=70°\).

Méthode de résolution de l'exercice

Étape 1: tu traces sur ton brouillon le triangle avec le codage des longueurs des côtés et des angles. Trace en épais les caractéristiques connues.
Étape 2: tu traces avec ta règle un segment \([\textsf{AB}]\) de longueur \(4~\text{cm}\). Tu écris les points \(\textsf{A}\) et \( \textsf{B}\).
Étape 3: tu places le centre du rapporteur sur le point \(\textsf{A}\), tu traces un trait au niveau de la graduation \( 50°\), puis tu traces une ligne entre le point \(\textsf{A}\) et le trait. Ici , tu utilises la graduation bleue.
Étape 4: tu places ensuite le centre du rapporteur sur le point \(\textsf{B}\), tu traces un trait au niveau de la graduation \( 70°\), puis tu traces une ligne entre le point \(\textsf{B}\) et le trait. Ici, tu utilises la graduation noire.
Étape 5: tu n'as plus qu'à placer le sommet \( \textsf{C}\) du triangle et à coder le triangle.

Attention

Ne te trompe pas de graduation quand tu utilises le rapporteur.


Méthode 2

La méthode pour construire un triangle dépend des données de l'exercice.
Pour construire un triangle à partir de la mesure d'un angle et les longueurs des deux côtés associés à cet angle, tu as besoin d'une règle graduée et d'un rapporteur.

Énoncé de l'exercice

Construis un triangle \( \textsf{ABC} \) tel que \( \widehat{\textsf{A}}=55°, \textsf{AB}=5~\text{cm}, \textsf{AC}=4~\text{cm}\).

Méthode de résolution de l'exercice

Étape 1: tu traces sur ton brouillon le triangle avec le codage de l'angle et des longueurs des côtés. Traces en gras les données connues
Étape 2: tu traces avec ta règle un segment \([\textsf{AB}]\) de longueur \(5~\text{cm}\). Tu écris les points \(\textsf{A}\) et \( \textsf{B}\).
Étape 3: tu places le centre du rapporteur sur le point \(\textsf{A}\), tu traces un trait au niveau de la graduation \( 55°\), puis tu traces une ligne entre le point \(\textsf{A}\) et le trait. Ici , tu utilises la graduation bleue.
Étape 4: avec ta règle graduée tu mesures 4 cm sur le nouveau trait pour placer le point C.
Étape 5: tu n'as plus qu'à tracer le côté entre les sommets \( \textsf{B} \) et \( \textsf{C} \) du triangle et à coder le triangle.

Attention

Ne te trompe pas de graduation quand tu utilises le rapporteur.


Méthode 3

La méthode pour construire un triangle dépend des données de l'exercice.
Pour construire un triangle à partir de la mesure d'un angle et les longueurs de deux côtés, dont le côté opposé à l'angle, tu as besoin d'une règle graduée et d'un rapporteur, et d'un compas.

Énoncé de l'exercice

Construis un triangle \( \textsf{ABC} \) tel que \( \widehat{\textsf{A}}=45°, \textsf{AB}=5~\text{cm}, \textsf{BC}=4~\text{cm}\).

Méthode de résolution de l'exercice

Étape 1: tu traces sur ton brouillon le triangle avec le codage de l'angle et des longueurs des côtés. Traces en gras les données connues.
Étape 2: tu traces avec ta règle un segment \([\textsf{AB}]\) de longueur \(5~\text{cm}\). Tu écris les points \(\textsf{A}\) et \( \textsf{B}\).
Étape 3: tu places le centre du rapporteur sur le point \(\textsf{A}\), tu traces un trait au niveau de la graduation \( 45°\), puis tu traces une demi-droite \( [\textsf{A}x)\) entre le point \(\textsf{A}\) et le trait. Ici , tu utilises la graduation bleue.
Étape 4: avec ton compas, tu décris un cercle de 4 cm autour du point \( \textsf{B} \), et tu traces l'arc de cercle qui coupe en deux endroits la demi-droite \( [\textsf{A}x) \) que tu viens de tracer.
Étape 5: le cercle coupe la demi-droite \( [\textsf{A}x) \) en deux points : il y a deux façons de construire ce triangle, et tu choisis une des deux intersections pour le point \( \textsf{C} \). Tu n'as plus qu'à tracer le côté \( [\textsf{BC}] \) et à coder le triangle.

Attention

Ne te trompe pas de graduation quand tu utilises le rapporteur.


Méthode 4

La méthode pour construire un triangle dépend des données de l'exercice.
Pour construire un triangle à partir des longueurs de ses trois côtés, tu as besoin d'une règle graduée et d'un compas.

Énoncé de l'exercice

Construis un triangle \( \textsf{ABC} \) tel que \( {\textsf{AB}}=6~\text{cm}, \textsf{AC}=5~\text{cm}, \textsf{BC}=3~\text{cm}\).

Méthode de résolution de l'exercice

Étape 1: tu traces sur ton brouillon le triangle avec le codage des longueurs des côtés. Traces en gras les données connues.
Étape 2: tu traces avec ta règle un segment \([\textsf{AB}]\) de longueur \(6~\text{cm}\). Tu écris les points \(\textsf{A}\) et \( \textsf{B}\).
Étape 3: comme \( \textsf{AC}=5~\text{cm}\) et \( \textsf{BC}=3~\text{cm} \), le point \( \textsf{C}\) se trouve sur le cercle de centre \( \textsf{A} \) et de rayon \( 5~\text{cm}\) et sur le cercle de centre \( \textsf{B} \) et de rayon \( 3~\text{cm}\). Pour trouver le point \( \textsf{C} \), Avec ton compas, tu décris un cercle de 5 cm autour du point \( \textsf{A} \), et un cercle de 3 cm autour du point \( \textsf{B}\).
Étape 4: les deux cercles se coupent en deux points. Tu choisis une des intersections comme point \( \textsf{C} \). Tu n'as plus qu'à tracer les côtés \( [\textsf{AC}] \) et \( [\textsf{BC}] \) et à coder le triangle.

Attention

Si on te demande de construire un triangle sans te donner d'angle, tu ne dois pas utiliser le rapporteur.



https://futuramath.fr - ©futuramath 2017-2018

Le triangle - Leçon 4 : Démonstrations avec les triangles

Cette leçon contient des exercices et des problèmes pour t'apprendre à utiliser les méthodes de calcul vues dans les leçons précédentes.