Encadrer et multiplier les décimaux

Définition - troncature

La troncature d'un nombre décimal est ce nombre décimal auquel on a supprimé des chiffres de la partie décimale.

• Si on supprime tous les chiffres à droite de l'unité, on obtient la troncature à l'unité du nombre décimal. \(125\) est la troncature à l'unité de \(125,\!894\).
• Si on supprime tous les chiffres à droite des dixièmes, on obtient la troncature au dixième du nombre décimal. \(125,\!8\) est la troncature au dixième de \(125,\!894\).
• Si on supprime tous les chiffres à droite des centièmes, on obtient la troncature au centième du nombre décimal. \(125,\!89\) est la troncature au centième de \(125,\!894\).
• Tronquer un nombre décimal, c'est calculer sa troncature.

	Partie entière			Partie décimale
	centaines	dizaines	unités	dixièmes	centièmes	millièmes
nombre	\(1\)	\(2\)	\(5\)	\(8\)	\(9\)	\(4\)
troncature à l'unité	\(1\)	\(2\)	\(5\)
troncature au dixième	\(1\)	\(2\)	\(5\)	\(8\)
troncature au centième	\(1\)	\(2\)	\(5\)	\(8\)	\(9\)

Attention: ne confonds pas la troncature avec l'arrondi.

Remarque

S'il y a des zéros dans les chiffres de la partie décimale, la troncature à l'unité peut être égale à la troncature au dixième ou à la troncature au centième. Par exemple la troncature à l'unité de \(48,\!07\) est \(48\), et la troncature au dixième est égale à \(48,\!0 = 48\).

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Encadrer un nombre décimal

Encadrer un nombre décimal c'est définir un nombre plus petit et un nombre plus grand que ce nombre.
On peut encadrer un nombre décimal par des nombres entiers ou des nombres décimaux. Par exemple : \( 47,\!3 < 48,\!65 < 49 \) est un encadrement de \(48,\!65\) par \(47,\!3\) et \(49\).

Encadrer à l'unité près un décimal c'est l'encadrer par deux entiers consécutifs. On dit qu'on encadre à l'unité près car il y a au maximum une différence d'une unité entre le décimal et les deux entiers consécutifs qui l'encadrent.
L'encadrement à l'unité près de \( 48,\!65 \) est :

\[ 48 < 48,\!65 < 49 \]

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Valeurs approchées

• \( 17 < 17,\!381 < 18 \) est un encadrement à l'unité près de \(17,\!381.\)
  \(17\) est la valeur approchée par défaut à l'unité près.
  \(18\) est la valeur approchée par excès à l'unité près.
• Encadrer au dixième près un décimal c'est l'encadrer par deux nombres décimaux à un seul chiffre après la virgule consécutifs.
  \( 17,\!3 < 17,\!381 < 17,\!4 \) est un encadrement au dixième près de \(17,\!381.\)
  \(17,\!3\) est la valeur approchée par défaut au dixième près.
  \(17,\!4\) est la valeur approchée par excès au dixième près.
• Encadrer au centième près un décimal c'est l'encadrer par deux nombres décimaux à deux chiffres après la virgule consécutifs.
  \( 17,\!38 < 17,\!381 < 17,\!39 \) est un encadrement au centième près de \(17,\!381.\)
  \(17,\!38\) est la valeur approchée par défaut au centième près.
  \(17,\!39\) est la valeur approchée par excès au centième près.

Méthode

Pour trouver un encadrement à l'unité près d'un décimal, par exemple \(20,\!47\):

1. Tu calcules la troncature à l'unité du décimal pour trouver la valeur par défaut à l'unité près. Ici c'est \(20.\)
2. Tu ajoutes une unité à la valeur par défaut pour trouver la valeur par excès à l'unité près : \(20+1=21.\)
3. L'encadrement à l'unité près est :
   

   \[ 20 < 20,\!47 < 21 \]

Pour trouver un encadrement au dixième près d'un décimal, par exemple \(20,\!47\):

1. Tu calcules la troncature au dixième du décimal pour trouver la valeur par défaut au dixième près. Ici c'est \(20,\!4.\)
2. Tu ajoutes un dixième à la valeur par défaut pour trouver la valeur par excès au dixième près : \(20,\!4+0,\!1=20,\!5.\)
3. L'encadrement au dixième près est :
   

   \[ 20,\!4 < 20,\!47 < 20,\!5 \]

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Définition - intercaler

Intercaler un nombre c'est trouver un nombre décimal entre deux décimaux, par exemple entre \(15,\!8\) et \(16,\!2\).
On peut intercaler une infinité de décimaux entre \(15,\!8\) et \(16,\!2\), toutes les abscisses des points tracés en rouge sur la demi-droite graduée:
\(16\) peut être intercalé entre \(15,\!8\) et \(16,\!2\). Mais aussi tous les nombres suivants: \( 15,\!9; 16,\!1; 15,\!91 ; 15,\!81; 15,\!801; 15,\!8001\)...

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Définition - arrondi

• L'arrondi à l'unité d'un décimal est l'entier le plus proche du décimal. L'arrondi de \(15,\!3\) est \(15\). L'arrondi de \(17,\!9\) est \(18.\)
• L'arrondi au dixième d'un décimal est le nombre décimal à un chiffre le plus proche. L'arrondi au dixième de \(17,\!86\) est \(17,\!9\). L'arrondi au dixième de \(14,\!34\) est \(14,\!3.\)
• L'arrondi au centième d'un décimal est le nombre décimal à deux chiffres le plus proche. L'arrondi au dixième de \(17,\!861\) est \(17,\!86\). L'arrondi au centième de \(14,\!347\) est \(14,\!35.\)

Lorsqu'un nombre est à distance égale de ses valeurs approchées par défaut et par excès, on prend par convention comme arrondi la valeur en excès. L'arrondi de \(17,\!5\) est \(18\). L'arrondi au dixième de \(18,\!65\) est \(18,\!7\).

Méthode de calcul

Pour trouver l'arrondi à l'unité tu regardes le chiffre des dixièmes:

• Si le chiffre des dixièmes est \(0, 1, 2, 3\) ou \(4\) l'arrondi est la valeur approchée par défaut.
• Si le chiffre des dixièmes est \(5, 6, 7, 8\) ou \(9\) l'arrondi est la valeur approchée par excès.
• L'arrondi de \(9,\!483\) est \(9\) car le chiffre des dixièmes est \(4.\)

Pour trouver l'arrondi au dixième tu regardes le chiffre des centièmes:

• Si le chiffre des centièmes est \(0, 1, 2, 3\) ou \(4\) l'arrondi est la valeur approchée au dixième par défaut.
• Si le chiffre des centièmes est \(5, 6, 7, 8\) ou \(9\) l'arrondi est la valeur approchée au dixième par excès.
• L'arrondi au dixième de \(9,\!483\) est \(9,\!5\) car le chiffre des centièmes est \(8.\)

Pour trouver l'arrondi au centième tu regardes le chiffre des millièmes:

• Si le chiffre des millièmes est \(0, 1, 2, 3\) ou \(4\) l'arrondi est la valeur approchée au centième par défaut.
• Si le chiffre des millièmes est \(5, 6, 7, 8\) ou \(9\) l'arrondi est la valeur approchée au centième par excès.
• L'arrondi au centième de \(9,\!483\) est \(9,\!48\) car le chiffre des millièmes est \(3.\)

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Ordre de grandeur

Pour évaluer rapidement le résultat d'une opération, ou pour vérifier un calcul:

• On remplace chaque nombre décimal utilisé dans les calculs par son ordre de grandeur.
• On fait de tête le calcul avec les ordres de grandeur.
• On vérifie que le résultat obtenu avec les ordres de grandeur est proche du résultat avec les vrais nombres.

Pour évaluer rapidement la multiplication \(12,\!7 \times 48,\!8 \times 87\) on peut calculer \(10 \times 50 \times 100 \) de tête, en remplaçant \(12,\!7\), \(48,\!8\) et \(87\) par leur ordre de grandeur respectif \(10\), \(50\) et \(100\). Le calcul rapide donne \(50\,000\). Le résultat exacte de la multiplication doit être du même ordre de grandeur : \(53\,919,\!12\).

Choisir un ordre de grandeur

• Tu prends comme ordre de grandeur l'arrondi à l'unité, à la dizaine, à la centaine...
• Pour les nombres plus petits que \(10\) tu prends l'arrondi à l'unité ou \(10.\)
• Pour les nombres entre \(10\) et \(50\) tu prends l'arrondi à la dizaine.
• Pour les nombres entre \(50\) et \(100\) tu prends l'arrondi à la dizaine ou \(50\) ou \(100.\)
• Pour les nombres entre \(100\) et \(1000\) tu prends l'arrondi à la centaine.

Exemples

• L'ordre de grandeur de \(4,\!353\) est \(4\) (arrondi à l'unité).
• L'ordre de grandeur de \(12,\!2\) est \(10\) (arrondi à la dizaine).
• L'ordre de grandeur de \(289\) est \(300\) (arrondi à la centaine).
• L'ordre de grandeur de \(1\,845\) est \(2\,000\) (arrondi au millier).

Il y a parfois plusieurs ordres de grandeur possibles : pour \(79,\!7\) tu peux prendre \(80\) (ordre de grandeur à la dizaine) ou \(100\) (ordre de grandeur à la centaine).

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Définitions

Une multiplication est une opération qui calcule le produit de deux nombres.
Les nombres que l'on multiplie sont les facteurs du produit.
Les facteurs du produit \(12 \times 14 = 168 \) sont \(12\) et \( 14 \). Les facteurs du produit \( 8 \times 0,\!2 = 0,\!16\) sont \(8\) et \(0,\!2\).

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Propriétés

Changer l'ordre des facteurs ne change pas un produit.
Regrouper les facteurs ne change pas un produit.

Ces propriétés permettent de simplifier le calcul des produits.

Exemples

Pour calculer le produit \( 2 \times 17 \times 5 \), on peut le faire dans l'ordre : \[2 \times 17 \times 5 = 34 \times 5 = 170.\] Pour simplifier les calculs, on peut changer l'ordre des facteurs pour faire apparaître le produit très simple \(2 \times 5\): \[ 2 \times 17 \times 5 = (2 \times 5 ) \times 17 = 10 \times 17 = 170 \]

Rappel

Le produit d'un décimal par \(0\) est égal à \( 0 \) : \(0,\!87 \times 0 = 0 \), \(458 \times 0 = 0 \)...

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Propriétés

Pour multiplier un nombre décimal par \(10\) on décale les chiffres vers la gauche. \[14,\!26 \times 10 = 142,\!6\]

Le chiffre des centièmes devient le chiffre des dixièmes, le chiffre des dixièmes devient le chiffre des unités, le chiffre des unités devient le chiffre des dizaines, etc... On ajoute un zéro à droite si on n'a plus de chiffre des unités.

Pour multiplier un nombre décimal par \(100\) on décale les chiffres deux fois vers la gauche. \[14,\!26 \times 100 = 1426 \]

Le chiffre des centièmes devient le chiffre des unités, le chiffre des dixièmes devient le chiffre des dizaines, le chiffre des unités devient le chiffre des centaines. On ajoute des zéros à droite si on n'a plus de chiffre des unités ou des dizaines.

Pour multiplier un nombre décimal par \(1000\) on décale les chiffres trois fois vers la gauche. \[14,\!26 \times 1000 = 14\,260 \]

Le chiffre des centièmes devient le chiffre des dizaines, le chiffre des dixièmes devient le chiffre des centaines, etc...

On rajoute des zéros à droite si on n'a plus de chiffre des unités, des dizaines ou des centaines. Regarde le tableau partie entière / partie décimale.

\( \times \)	Partie entière					Partie décimale
	dizaines de milliers	milliers	centaines	dizaines	unités	dixièmes	centièmes
				\(1\)	\(4,\)	\(2\)	\(6\)
\( \times 10 \)			\(1\)	\(4\)	\(2,\)	\(6\)
\( \times 100 \)		\(1\)	\(4\)	\(2\)	\(6,\)
\( \times 1000 \)	\(1\)	\(4\)	\(2\)	\(6\)	\(0,\)

Remarque

Rappelle-toi que multiplier par \(10\), c'est rendre un nombre \(10\) fois plus grand. Si tu as un doute, regarde ce qui se passe avec \(1\) multiplié par \(10, 100, 1000\) : \(1\) multiplié par \(100\) égale \(100\), il faut décaler le chiffre \(1\) de deux rangs vers la gauche.

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Méthode de calcul

La multiplication posée permet de calculer le produit de deux nombres décimaux. Pour calculer le produit de deux décimaux:

• Tu poses les deux facteurs à multiplier.
• Tu effectues les multiplications sans tenir compte des virgules, en décalant d'un rang à chaque ligne, comme tu as appris en cm2.
• Tu fais la somme des multiplications.
• Tu comptes le nombre de chiffres après la virgule des deux facteurs, et tu places autant de chiffres après la virgule dans le résultat.

Exemple

Pour multiplier \(43,\!8\) par \(7,\!52\) :

			4	3,	8	Un chiffre après la virgule
	\(\times\)		7,	5	2	Deux chiffres après la virgule
			8	7	6	\(= 2 \times 438 \)
	2	1	9	0	.	\(= 5 \times 438 \)
3	0	6	6	.	.	\(= 7 \times 438 \)
3	2	9,	3	7	6	1+2= 3 chiffres après la virgule

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Propriétés

Pour multiplier un nombre décimal par \(0,\!1\) on décale les chiffres une fois vers la droite

\[14,\!26 \times 0,\!1 = 1,\!426\]

Le chiffre des centièmes devient le chiffre des millièmes, le chiffre des dixièmes devient le chiffre des centièmes, le chiffre des unités devient le chiffre des dixièmes, etc... On ajoute un zéro à gauche si on a plus de chiffre des unités.

Pour multiplier un nombre décimal par \(0,\!01\) on décale les chiffres deux fois vers la droite.

\[14,\!26 \times 0,\!01 = 0,\!1426 \]

Le chiffre des centièmes devient le chiffre des dix-millièmes, le chiffre des dixièmes devient le chiffre des millièmes, le chiffre des unités devient le chiffre des centièmes. On ajoute un ou deux zéros à gauche si on a plus de chiffre des unités ou des dixièmes.

Pour multiplier un nombre décimal par \(0,\!001\) on décale les chiffres trois fois vers la droite.

\[14,\!26 \times 0,\!001 = 0,\!01426 \]

Le chiffre des centièmes devient le chiffre des cent-millièmes, le chiffre des dixièmes devient le chiffre des millièmes, etc...

On rajoute  un, deux ou trois zéros à gauche si on a plus de chiffre des unités, des dixièmes ou des centièmes. Regarde le tableau partie entière / partie décimal pour bien comprendre le mécanisme.

\( \times \)	Partie entière		Partie décimale
	dizaines	unités	dixièmes	centièmes	millièmes	dix - millièmes	cent - millièmes
	\(1\)	\(4,\)	\(2\)	\(6\)
\( \times 0,\!1 \)		\(1,\)	\(4\)	\(2\)	\(6\)
\( \times 0,\!01 \)		\(0,\)	\(1\)	\(4\)	\(2\)	\(6\)
\( \times 0,\!001 \)		\(0,\)	\(0\)	\(1\)	\(4\)	\(2\)	\(6\)

Remarque

Rappelle-toi que multiplier par \(0,\!1\), c'est rendre un nombre \(10\) fois plus petit, c'est calculer un dixième  de ce nombre. Si tu as un doute, regarde sur ton brouillon ce qui se passe quand tu multiplies \(1\) par \(0,\!1\) par \(0,\!01\) ou par  \(0,\!001\): \(1 \times 0,\!01 = 0,\!01\) : tu décales de deux rangs vers la droite \(1\) pour obtenir \(0,\!01\).

Multiplier facilement

Tu peux utiliser les égalités de produits ci-dessous pour calculer plus facilement et de tête les produits en ligne.

• \( \times 4 = \times 2 \times 2\). Exemple : \(44 \times 4 = ( 44 \times 2 ) \times 2 = 88 \times 2 = 176 \).
• \( \times 20 = \times 2 \times 10\). Exemple : \( 16 \times 20 = (16 \times 2) \times 10 = 320 \).
• \( \times 5 = \times 10 \div 2\). Exemple : \(28 \times 5 = 28 \times 10 \div 2 = 280 \div 2 = 140 \).
• \( \times 50 = \times 100 \div 2\). Exemple: \(84 \times 50 = 84 \times 100 \div 2 = 8400 \div 2 = 4200 \).
• multiplier un nombre par \( 11 \) revient à le multiplier par \(10\) et à ajouter ce nombre au résultat : \(43 \times 11 = 43 \times 10 + 43 = 430 +43 = 473 \).

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Simplifier le produit de deux entiers

Lorsqu'au moins un des facteurs d'un produit de deux entiers se termine par un ou des zéros, tu peux simplifier tes calculs en décomposant le produit. Par exemple: \[ \begin{align} 320 \times 1\,700 &= (32 \times 10) \times (17 \times 100) \\ &= ( 32 \times 17 ) \times ( 10 \times 100 )\\ &= ( 32 \times 17 ) \times 1\,000\\ \end{align} \] \[ \begin{align} 4\,700 \times 1\,200 &= (47 \times 100) \times (12 \times 100) \\ &= (47 \times 12 ) \times ( 100 \times 100)\\ & = (47 \times 12) \times 10\,000 \\ \end{align} \]
Pour faire la multiplication posée de \(4\,700\) et \(1\,200\), tu peux:

• Compter le nombre de zéros à droite des deux facteurs: \(2+2=4\).
• Poser et calculer la multiplication de \(47\) par \(12\) (tu trouves \(564\))
• Multiplier le résultat par \(10\,000\), c'est à dire ajouter \(4\) zéros : \(5\,640\,000\).

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