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Rappels et définitions


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Division décimale posée


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Divisibilité


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Problèmes


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La division - Leçon 1 : Rappels et définitions


Définition

Le quotient

Soit \( a \) un nombre décimal et \(b \) un nombre entier différent de zéro. Le quotient de \(a\) par \(b\) est le nombre qui, multiplié par \(b\), donne \(a\). On le note \( a \div b \) ou \( \dfrac{a}{b} \).

La division décimale

Une division décimale est une opération qui permet de calculer le quotient d'un nombre décimal \( a \) par un entier \( b \).

C'est compliqué ?

La définition du quotient peut paraître compliquée. Prenons un exemple : quel est le quotient de \(5\) par \(2\) ?

  • C'est le nombre qui, multiplié par \(2\), donne \(5\) : le quotient est \(2,\!5\) car \(2,\!5 \times 2 = 5\)
  • C'est le résultat de la division décimale de \(5\) par \(2\) : \( 5 \div 2 = 2,\!5 \)
  • Tu peux aussi écrire : \( (5 \div 2 ) \times 2 = 5 \) ou encore \(\dfrac{5}{2} \times 2 = 2 \)


Division décimale

Une division décimale est une opération qui permet de calculer le quotient d'un nombre décimal \(a\) (appelé le dividende) par un entier \(b\) (appelé le diviseur).

Formule de la division décimale

Le quotient exacte \(q\) du dividende \(a \) par le diviseur \(b \) est le nombre qui, multiplié par \(b\) donne \(a\): \[ a = b \times q \]

Formule de la division euclidienne

Dans la division euclidienne du dividende \(a \) par le diviseur \( b \) , on cherche le quotient entier \( q \) et le reste entier \( r \) inférieur au diviseur \( b \) tel que:

\[ a = b \times q + r ,~~~ r < b \]

Exemples

La division euclidienne de \(25\) par \(4\) s'écrit:

\[ 25 = 4 \times 6+ 3\]

La division décimale de \(25 \) par \(4\) s'écrit:

\[ 25 = 4 \times 6,\!25\]

Pour la division décimale, il n'y a pas de reste, et le quotient peut être un entier, un nombre décimal, ou même un autre nombre.



Propriétés

Diviser un nombre décimal par \(10\) revient à le multiplier par \(0,\!1\)

\[14,\!2 \div 10 = 14,\!2 \times 0,\!1 = 1,\!42 \]

Pour diviser un nombre par 10, on décale les chiffres vers la droite, comme dans le tableau ci-dessous. Le chiffre des unités devient le chiffre des dixièmes, le chiffre des dizaines devient le chiffre des unités, etc... On ajoute un zéro à gauche si on a plus de chiffre des unités.

Diviser un nombre décimal par \(100\) revient à le multiplier par \(0,\!01\)

\[14,\!2 \div 100 = 14,\!2 \times 0,\!01 = 0,\!142 \]

Pour diviser un nombre par 100, on décale les chiffres deux fois vers la droite, comme dans le tableau ci-dessous. Le chiffre des unités devient le chiffre des centièmes, le chiffre des dizaines devient le chiffre des dixièmes. On ajoute des zéros à gauche si on a plus de chiffre des unités.

Diviser un nombre décimal par \(1000\) revient à le multiplier par \(0,\!001\)

\[14,\!2 \div 1000 = 14,\!2 \times 0,\!001 = 0,\!0142 \]

Pour diviser un nombre par 1000, on décale les chiffres trois fois vers la droite, comme dans le tableau ci-dessous. Le chiffre des unités devient le chiffre des millièmes, le chiffre des dizaines devient le chiffre des centièmes, etc... On rajoute des zéros à gauche si on a plus de chiffre des unités.

Opération Partie entière Partie décimale
centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes dix- millièmes
\(1\) \(4,\) \(2\)
\( \div 10 \) \(1,\) \(4\) \(2\)
\( \div 100 \) \(0,\) \(1\) \(4\) \(2\)
\( \div 1000 \) \(0,\) \(0\) \(1\) \(4\) \(2\)

Remarque

Rappelle-toi que diviser par \(10\), c'est rendre un nombre \(10\) fois plus petit. Si tu as un doute, regarde sur ton brouillon ce qui se passe avec des nombres très simples comme \(20\), \(200\), \(2000\). Par exemple \(2000\) divisé par \(1000\) égale \( 2 \) : on déplace le chiffre \(2\) de trois rangs vers la droite (des milliers aux unités).



Définition

L'écriture fractionnaire du quotient de \(a\) par \(b\) non nul se note \( \dfrac{a}{b} \).

Certain quotient n'ont pas d'écriture décimale exacte. L'écriture fractionnaire du quotient est alors la seule écriture exacte.

Exemples

L'écriture fractionnaire du quotient de \(5\) par \(2\) est \( \dfrac{5}{2}\). Son écriture décimale est égale à \(2,\!5\).

L'écriture fractionnaire du quotient de \(2\) par \(3\) est \(\dfrac{2}{3}\). C'est la seule écriture exacte de ce quotient. En effet \(\dfrac{2}{3} \approx 0,\!66 \), mais \( 0,\!66\) est une valeur approchée du quotient de \( 2\) par \( 3 \) car en multipliant \( 0,\!66\) par \(3\) on ne retrouve pas \(2\) : \( 0,\!66 \times 2 = 1,\!98 \).


Cours

Il n'existe pas de quotient d'un nombre \( a \) par zéro. Il n'existe pas de nombre qui, multiplié par zéro, donne \( a \).
Il est impossible de diviser un nombre par zéro.




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La division - Leçon 2 : Division décimale posée


Méthode - division décimale posée

La division décimale posée permet de trouver le quotient \(q = a \div b\) d'un dividende \(a\) par le diviseur \(b\). Le quotient vérifie: \(a = b \times q \), c'est à dire :

dividende \( = \) diviseur \(\times\) quotient

Pour trouver le quotient de \(516\) par \(24\), les étapes sont:

Étape 1:
516    24

Le diviseur 24 a deux chiffres, on commence par rechercher combien de fois \(24\) dans les deux premiers chiffres du dividende \(51\): \(2\) fois.

\(2 \times 24 = 48\). On fait la soustraction \(51-48 = 3\). Il reste \(3\) dizaines.

-48 2
03

Étape 2:
516    24

On abaisse le chiffre des unités \(6\) qui reste, et on cherche combien de fois \(24\) dans \(36\) : \(1\) fois.

On fait une nouvelle soustraction \(36-24=12\). Il reste \(12\)

On a pour l'instant fait la division euclidienne posée vue en cm2. On a calculé: \(516=24\times21+12\).

-48\( \downarrow \) 21
036

-24


12

Étape 3:
516,0   24

Pour continuer la division décimale, on ajoute une virgule au dividende et au quotient, et on abaisse le zéro des dixièmes du dividende.

On cherche, comme a chaque étape, combien de fois \(24\) dans \(120\): \(5\) fois, car \(24\times5=120\).

On fait une nouvelle soustraction \(120-120=0\). Il reste \(0\)

Le reste est nul. On a obtenu le quotient exacte de la division décimale de \(516\) par \(24\): c'est \(21,\!5\).

-48
21,5
036

-24\( \downarrow \)


120

-
120


0

Remarque

Tu peux aussi faire la division posée sans faire apparaître à chaque étape la soustraction, en écrivant directement le reste.



Arrondi et division décimale posée

La division décimale posée permet de trouver une valeur approchée (une troncature ou un arrondi) du quotient \(q = a \div b\) d'un dividende \(a\) par le diviseur \(b\)

Pour trouver l'arrondi au dixième de la division de \(38\) par \(7\) je calcule la division posée au centième.

Étape 1:
38  7

En \(\textbf{38}\), combien de fois \(7\) ? \(\textbf{5}\) fois, il reste \(\textbf{3}\) car \(38 = 7\times 5 +3\).

Il reste \(\textbf{3}\) unités.

3 5




Étape 2:
38,0    7

On écrit une virgule au niveau du dividende et du quotient, et on abaisse le zéro des dixièmes.

En \(\textbf{30}\) combien de fois \(7\) ? \(\textbf{4}\) fois, il reste \(\textbf{2}\) car \( 30 = 7 \times 4 + 2 \).

Il reste \(\textbf{2}\) dixièmes.


30 5,4
2




Étape 3:
38,00   7

On cherche la valeur du quotient au centième, on continue la division. On abaisse le zéro des centièmes.

On cherche, comme a chaque étape, combien de fois \(7\) dans \(\textbf{20}\) \(\textbf{2}\) fois, il reste \(\textbf{6}\), car \(20 =  7 \times 2 + 6\).

Il reste \(\textbf{6}\). On a obtenu un résultat approché au centième près. On arrête la division. 

L'arrondi au dixième est : \(5,\!4\).

30 5,42
20

6


Rappel

Pour calculer l'arrondi au dixième, on doit connaître le chiffre des centièmes :

  • Si le chiffre des centièmes est \(5, 6, 7, 8\) ou \(9\), l'arrondi est la valeur approchée au dixième par excès : \(3,\!65 \approx 3,\!7 \).
  • Si le chiffre des centièmes est \(0, 1, 2, 3, 4 \), l'arrondi est la valeur approchée au dixième par défaut: \(7,\!84 \approx 7,\!8\).

Remarque

Tu peux aussi faire la division en posant à chaque étape la soustraction pour calculer le reste.



Méthode - division d'un décimale par un entier

La division décimale posée d'un nombre décimal par un entier permet de trouver une valeur approchée (une troncature ou un arrondi) du quotient \(q = a \div b\) d'un dividende \(a\) par le diviseur \(b\).

La méthode est la même que pour la division décimale d'un entier par un entier. Il faut faire bien attention à l'endroit où on pose la virgule.

Pour trouver l'arrondi au dixième de la division de \(29,\!53\) par \(7\) je calcule la division posée au centième.

Étape 1:
29,53  7

En \(\textbf{29}\), combien de fois \(7\)\(\textbf{4}\) fois, il reste \(\textbf{1}\) car \(29 = 7\times 4 +1\).

Il reste \(\textbf{1}\) unité.

1 4



Étape 2:
29,53  7

On écrit une virgule au niveau du quotient avant d'abaisser le \(5\) des dixièmes.

En \(\textbf{15}\) combien de fois \(7\)\(\textbf{2}\) fois, il reste \(\textbf{1}\) car \( 15 = 7 \times 2 + 1 \).

Il reste \(\textbf{1}\) dixièmes.


15 4,2
1




Étape 3:
29,53  7

On continue la division tant qu'on a pas abaissé tous les chiffres du dividende. On abaisse le \(3\) des centaines.

On cherche, comme a chaque étape, combien de fois \(7\) dans \(\textbf{13}\) ? \(\textbf{1}\) fois, il reste \(\textbf{6}\).

Il reste \(\textbf{6}\). On a obtenu un résultat approché au centième près. On arrête la division. 

L'arrondi au dixième est : \(4,\!2\).

15 4,21
13

6


Rappel

Pour calculer l'arrondi au dixième, on doit connaître le chiffre des centièmes :

  • Si le chiffre des centièmes est \(5, 6, 7, 8\) ou \(9\), l'arrondi est la valeur approchée au dixième par excès : \(3,\!65 \approx 3,\!7 \).
  • Si le chiffre des centièmes est \(0, 1, 2, 3, 4 \), l'arrondi est la valeur approchée au dixième par défaut : \(87,\!64 \approx 87,\!6\).

Remarque

Tu peux aussi faire la division en posant à chaque étape la soustraction pour calculer le reste.



Division avec diviseur supérieur au dividende

Dans une division décimale posée du dividende \(a\) par le diviseur \(b\), lorsque le diviseur est supérieur au dividende, le quotient est inférieur à 1. Dans ce cas, on commence la division par un \(0\).

Par exemple le quotient \( 11\div13\) est inférieur à \(1\) car le dividende \(11\) est inférieur au diviseur \(13.\) On commence la division par \(0:\)

Étape 1:
11  13

En \(\textbf{11}\), combien de fois \(13\) ? \(\textbf{0}\) fois, il reste \(\textbf{11}\) !

Le diviseur est supérieur au dividende : je commence la division par un zéro.

11 0




Étape 2:
11,0    13

On écrit une virgule au niveau du dividende et du quotient, et on abaisse le zéro des dixièmes.

En \(\textbf{110}\) combien de fois \(13\) ? On trouve le résultat par tatonnement : \(10 \times 13 = 130\), \(9 \times 13 = 117\), \(8 \times 13 = 104\)\(\textbf{8}\) fois, il reste \(\textbf{6}\) car \( 110 = 13 \times 8 + 6 \).

Il reste \(\textbf{6}\) dixièmes.

110 0,8
6




Étape 3:
11,00   13

Si on veut l'arrondi au dixième, on a besoin de la valeur du quotient au centième, on continue la division. On abaisse le zéro des centièmes.

On cherche, comme a chaque étape, combien de fois \(13\) dans \(\textbf{60}\)\(\textbf{4}\) fois, il reste \(\textbf{8}\), car \(60 =  13 \times 4 + 8\).

Il reste \(\textbf{8}\). On a obtenu un résultat approché au centième près. On arrête la division. 

L'arrondi au dixième est : \(0,\!8\).

110 0,84
60

8




Propriété - division décimale posée illimitée

Certaines divisions décimales posées sont illimitées: elles ne se terminent jamais. Dans ce cas, le quotient n'est pas un nombre décimal, il n'y a pas d'écriture décimale exacte du quotient, et la seule écriture exacte du quotient est l'écriture fractionnaire : \( q = \dfrac{a}{b} \).

La division posée permet de trouver une valeur approchée (une troncature ou un arrondi) du quotient.

Exemple

Le quotient \( \dfrac{14}{3}\) n'est pas un nombre décimal. La division décimale posée est illimitée:

14,0000  3

La division ne se termine pas. Le reste est toujours 2. Pour calculer l'arrondi au millième, on calcule le résultat au dix-millième près. 

L'arrondi au millième est : \(4,\!667\).

20 4,6666...
20

20
20
2
...

Le quotient \( \dfrac{17}{11}\) n'est pas un nombre décimal. La division décimale posée est illimitée:

17,0000  11

La division ne se termine pas. Le reste alterne entre \(5\) et \(6\). Pour calculer l'arrondi au millième, on calcule le résultat au dix-millième près. 

L'arrondi au millième est : \(1,\!545\).

60 1,5454...
50

60
50
6
...

Remarque

Certaines divisions illimitées donnent des résultats avec des séquences de chiffres qui se répètent qui peuvent être longues. Par exemple \(\dfrac{19}{14} \approx  1,\!3\color{orange}{571428}\color{blue}{571428}\color{orange}{571428}\color{blue}{571428}...\). La séquence de chiffre \(57148\) se répète à l'infini.




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La division - Leçon 3 : Divisibilité


Définition

Un entier \(a\) est divisible par un entier \(b\) si la division euclidienne de \(a\) par \(b\) a un reste nul:

\( a = b \times q + 0 \). \(a\) peut se diviser en \(b\) parts égales.

Par exemple, \(12\) est divisible par \(4\) car : \( 12 = 4 \times 3\).

Si \(a \) est divisible par \( b \) , c'est à dire \( a = b \times q \), on dit que:

  • \(a\) est un multiple de \(b\) : \(a \) peut s'écrire comme \( b \times q \). \(12\) est un multiple de \(4\).
  • \(a\) est divisible par \(b\) : on peut diviser \(a\) par \(b \) parts égales. \(12\) est divisible par \(4\).
  • \(b\) est un diviseur de \(a\) : \(b\) peut diviser \(a\) en parts égales. \(4\) est un diviseur de \(12\).

Étudier la divisibilité d'un nombre entier, c'est rechercher ses diviseurs. Par exemple, \(12\) est divisible par \(1, 2, 3, 4, 6, 12\).



Propriétés - critères de divisibilité

Divisibilité par 2 et par 4

Un entier est divisible par \(2\) si le chiffre des unités est \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) ou \(8.\)

Un entier est divisible par \(4\) si le nombre formé par les deux chiffres de droite est divisible par \(4.\)

Un entier divisible par \(4\) est divisible par \(2.\)

Nombres pairs et impairs

Les entiers divisibles par \(2\) sont les nombres pairs.

Les entiers qui ne sont pas divisibles par \(2\) sont les nombres impairs. Un entier est impair si le chiffre des unités est \(1\), \(3\), \(5\), \(7\) ou \(9.\)

Exemple

  • Pour déterminer si \(9\,991\) est divisible par \(4\), je vérifie d'abord s'il est divisible par \(2\). Le chiffre des unités de \(9\,991\) est \(1\), donc \(9\,991\) n'est pas divisible par \(2\), donc il n'est pas non plus divisible par \(4\).
  • Pour déterminer si \(3\,496\) est divisible par \(4\), je vérifie qu'il est bien divisible par \(2\). Le chiffre des unités est \(6\), donc \(3\,496\) est divisible par \(2\). Je regarde les deux derniers chiffres : \(96\) qui est divisible par \(4\) car \(96=4\times 24\) donc \(3\,496\) est divisible par \(4\).

Remarque

Tu peux trouver \(25\) nombres de deux chiffres divisibles par \(4\) : \( 00, 04, 08, 12, 16,\) \(20, 24, 28, 32\), \(36, 40, 44, 48,\) \( 52, 56, 60, 64,\) \(68, 72, 76, 80,\) \( 84, 88, 92, 96\).



Propriétés - critères de divisibilité

Divisibilité par 3 et par 9

Un entier est divisible par \(3\) si la somme de ses chiffres est divisible par \(3\).

Un entier est divisible par \(9\) si la somme de ses chiffres est divisible par \(9\).

Un entier est divisible par \(3\) s'il est divisible par \(9\).

Méthodes

  • Pour déterminer si \(3\,402\) est divisible par \(3\), je somme ses chiffres : \(3+4+0+2 = 9\). Comme \(9\) est divisible par \(3\), \(3\,402\) est divisible par \(3\). \(9\) est aussi divisible par \(9\), donc \(3\,402\) est aussi divisible par \(9\).
  • Pour déterminer si \(586\,887\) est divisible par \(3\), je somme ses chiffres : \(5+8+6+8+8+7=42\). Pour déterminer si \(42\) est divisible par \(3\), je peux de nouveau sommer ses chiffres : \(4+2 = 6\). \(6\) est divisible par 3 donc \(42\) est divisible par \(3\) donc \(586\,887\) est divisible par \(3\). Par contre \(42\) n'est pas divisible par \(9\) donc \(586\,887\) n'est pas divisible par \(9\).
  • Pour déterminer si \(8\,633\) est divisible par \(3\), je somme ses chiffres : \(8+6+3+3=20\). Comme \(20\) n'est pas divisible par \(3\), \(8\,633\) n'est pas divisible par \(3\).


Propriétés - critères de divisibilité

Les critères ci-dessous permettent de savoir facilement si un nombre entier est divisible par \(2, 3, 4, 5, 9\) ou \( 10\).

Entier divisible par  Critère de divisibilité Exemples
\(2\)Le chiffre des unités est \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) ou \(8\)\(4\), \(890\), \(10\,002\)
\(5\)Le chiffre des unités est \(0\) ou \(5\)\(10\), \(35\), \(10\,005\)
\(10\)Le chiffre des unités est \(0\)\(100\), \(1\,200\), \(1\,030\)
\(3\)La somme des chiffres est divisible par \(3\)\(42\), \(522\), \(51\)
\(9\)La somme des chiffres est divisible par \(9\)\(63\), \(207\), \(144\)
\(4\)Le nombre formé de ses deux derniers chiffres est divisible par \(4\)\(524\), \(312\)

Remarque

Il y a trois types de critères de divisibilité : en regardant le chiffre des unités pour la divisibilité par \(2\), \(5\) et \(10\), en regardant la somme des chiffres pour la divisibilité par \(3\) et par \(9\), et enfin en regardant le nombre formé des deux derniers chiffres pour la divisibilité par \(4\).



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La division - Leçon 4 : Problèmes

Cette leçon contient des exercices et des problèmes pour t'apprendre à utiliser les méthodes de calcul vues dans les leçons précédentes.