Les nombres entiers et les décimaux

Définitions - Écriture

Les chiffres

En écriture décimale, on utilise 10 chiffres pour écrire les nombres entiers: \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\).
Exemple: le nombre \(458\) est composé des trois chiffres \(4, 5\) et \(8\).

Position des chiffres

Suivant sa position, un chiffre indique une quantité différente : unité, dizaine, centaine, millier, dizaine de milliers, million, milliard...
Exemple: le chiffre \(4\) de \(458\) indique \(4\) centaines, le chiffre \(5\) indique \(5\) dizaines, et le chiffre \(8\) indique \(8\) unités.

Classes

On regroupe les chiffres d'un nombre par classe : la classe des unités, des milliers, des millions, des milliards. On laisse un espace entre les trois chiffres de chaque classe pour faciliter la lecture.
Exemple: le nombre \(548\,325\) s'écrit en séparant la classe des unités (\(325\)) de la classe des milliers (\(548\)).

Exemples

• \(12\,543\,728\,906\) se lit : "douze-milliards-cinq-cent-quarante-trois-millions-sept-cent-vingt-huit-mille-neuf-cent-six".
• Mille-cent s'écrit en chiffres : \(1\,100\) et correspond à mille plus cent unités.
• Un-million-trois s'écrit en chiffres : \( 1\,000\,003\) et correspond à un million et trois unités.

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Définitions - Les classes

Tu peux utiliser le tableau ci-dessous pour décomposer en classes un nombre, et vérifier la classe et le rang des différents chiffres. Par exemple le nombre \(4\,023\,105\,683\) ou le nombre \(5\,000\,400\)

classe des milliards			classe des millions			classe des milliers			classe des unités
centaines	dizaines	unités	centaines	dizaines	unités	centaines	dizaines	unités	centaines	dizaines	unités
		\(4\)	\(0\)	\(2\)	\(3\)	\(1\)	\(0\)	\(5\)	\(6\)	\(8\)	\(3\)
					\(5\)	\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(4\)	\(0\)	\(0\)

Le tableau permet de décomposer \(4\,023\,105\,683\) en classes:

• \(4 \) pour la classe des milliards
• \(23\) pour la classe des millions
• 105 pour la classe des milliers
• 683 pour la classe des unités

Cela permet de facilement l'écrire en lettres, en suivant la décomposition par classe: quatre-milliards-vingt-trois-millions-cent-cinq-mille-six-cent-quatre-vingt-trois.
Pour le nombre \(5\,000\,400\), la décomposition donne :

• \(5\) millions
• \(0\) milliers
• \(400\) unités

Il y a zéro millier, on ne prend pas en compte cette classe dans l'écriture en lettres : cinq-millions-quatre-cents.

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Définitions

Une fraction décimale est le résultat d'un entier partagé en dix parts égales, ou cent parts, ou mille, dix-mille, cent-mille... parts égales.
On les note par exemple : \( \dfrac{5}{10}, \dfrac{8}{100},\dfrac{7}{1000}\)...
On utilise les mots dixième, centième, millième pour les nommer : \( \dfrac{7}{100}\) se lit sept centièmes.
Un nombre décimal est la somme d'un nombre entier et de fractions décimales, par exemple : \( 34 + \dfrac{2}{10} + \dfrac{9}{100} + \dfrac{8}{1000}\).
Une écriture décimale, ou écriture à virgule est l'écriture plus simple d'un nombre décimal : l'écriture à virgule de \( 34 + \dfrac{2}{10} + \dfrac{9}{100} + \dfrac{8}{1000}\) est \(34,\!298\).
Le premier chiffre après la virgule correspond aux dixièmes, le deuxième chiffre aux centièmes, le troisième chiffre aux millièmes, etc..

Exemples

• \( 27 + \dfrac{5}{10} + \dfrac{6}{1000} = 27,\!506\) : Il y a zéro centième.
• \(48,\!5\) se lit quarante-huit unités cinq dixième.
• \(9,\!15\) se lit neuf unités quinze centièmes.
• \(7,\!08\) se lit sept unités huit centièmes.
• \(18,\!026\) se lit dix-huit unités vingt-six millièmes.

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Définitions

Un nombre décimal se décompose entre sa partie entière, à gauche de la virgule et sa partie décimale, à droite de la virgule. La partie entière de \(7\,265,\!389\) est \(7\,265\) et la partie décimale est \(389\).
Comme pour les classes des unités, milliers, millions et milliards un tableau permet de :

• décomposer un nombre entre partie entière et partie décimale.
• trouver les chiffres des dixièmes, centièmes, millièmes,...millionièmes

Partie entière						Partie décimale
classe des milliers			classe des unités
centaines	dizaines	unités	centaines	dizaines	unités	dixièmes	centièmes	millièmes	dix-millièmes	cent-millièmes	millionièmes
		\(7\)	\(2\)	\(6\)	\(5\)	\(3\)	\(8\)	\(9\)

Comme entre les classes des milliers, millions, milliards, on laisse un espace entre les millièmes et les dix-millièmes: \(34,\!875\,627\).

Exemples

• La partie entière de \(25,\!84\) est \(25\); la partie décimale est \(84\).
• Le chiffre des centièmes de \(1,\!205\) est \(0\).
• Le chiffre des dix-millièmes de \(45,\!587\,6\) est \(6\).
• La partie entière de \(470,\!086\) est \(470\), la partie décimale est \(086\).

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Conversion

Un nombre décimal peut s'écrire de plusieurs façon à l'aide de fractions décimales. On utilise des combinaisons des fractions décimales suivantes:

• \(0,\!1=\dfrac{1}{10}\)
• \(0,\!01=\dfrac{1}{100}\)
• \(0,\!001=\dfrac{1}{1\,000}\)
• \(0,\!0001=\dfrac{1}{10\,000}\)

\(0,\!01\) se lit un centième, c'est le résultat de l'unité partagée en cent parts égales : \(\dfrac{1}{100}\).
Un nombre décimale comme \(21,\!345\) peut s'écrire :

• Sous la forme d'une partie entière et d'une fraction décimale :
  \(21,\!345 =21+\dfrac{345}{1\,000}\)
• Sous la forme d'une fraction décimale: \(21,\!345 =\dfrac{21\,345}{1\,000}\)
• Sous la forme d'une partie entière et de fractions décimales pour chaque décimale:
  \(21,\!345 =21+\dfrac{3}{10}+\dfrac{4}{100}+\dfrac{5}{1\,000}\)

Le tableau te permet de faire facilement les conversions: regarde bien les trois façons de lire le tableau:

	Partie entière			Partie décimale
	centaines	dizaines	unités	dixièmes	centièmes	millièmes
\(21\)+\(\dfrac{345}{1\,000}\)		\(2\)	\(1\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
\(\dfrac{21\,345}{1\,000}\)		\(2\)	\(1\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
\(21\)+\(\dfrac{3}{10}\)+\(\dfrac{4}{100}\)+\(\dfrac{5}{1\,000}\)		\(2\)	\(1\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)

Première ligne: tu lis le nombre à partir de la colonne des unités et celui à partir de la colonne des millièmes: \(21,\!345\) est égal à \(21\) unités et \(345\) millièmes.
Deuxième ligne: tu lis le nombre à partir de la colonne des millièmes : \(21,\!345\) est égal à \(21\,345\) millièmes.
Troisième ligne: tu lis le nombre à partir des colonnes des unités, des dixièmes, des centièmes et des millièmes : \(21,\!345\) est égal à \(21\) unités, \(3\) dixièmes, \(4\) centièmes et \(5\) millièmes.

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Conversion

Un nombre décimal peut se décomposer en une somme d'un entier et de multiples de dixièmes, centièmes, millièmes... Par exemple:
\(3,\!876= 3 + \dfrac{8}{10} + \dfrac{7}{100} + \dfrac{6}{1000} = 3 + 0,\!8 + 0,\!07+ 0,\!006\)
On utilise le fait que huit dixième peut s'écrire \( \dfrac{8}{10}\) (son écriture fractionnaire) ou \(0,\!8\) (son écriture décimale). Huit dixièmes c'est aussi huit fois un dixième : \(0,\!8 = 8 \times 0,\!1 = 8 \times \dfrac{1}{10} \). On peut donc aussi écrire:
\(3,\!876 = 3 + 8 \times \dfrac{1}{10} + 7 \times \dfrac{1}{100} + 6 \times \dfrac{1}{1000} \)
\(3,\!876 = 3 + 8\times 0\,1 + 7 \times 0,\!01+ 6 \times 0,\!001\)

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Définition - la demi-droite graduée

Un demi-droite graduée est une demi-droite sur laquelle on a reporté régulièrement une unité de longueur depuis l'origine.
Chaque point sur la demi-droite est repéré par son abscisse, la distance à l'origine dans l'unité de longueur.
La demi-droite graduée \(\textsf{[A},x)\) a pour origine le point \(\textsf{A}\) et pour unité un centimètre. L'abscisse du point \(\textsf{B}\) est \(2\) et l'abscisse du point \(\textsf{C}\) est \(3,\!5\). On dit une abscisse.

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Définitions

Une addition est une opération qui calcule la somme de deux ou plusieurs nombres.
Les nombres utilisés s'appellent des termes.
Le résultat d'une addition s'appelle une somme.

Exemple

• L'addition de \(14,\!4\) et \(4,\!2\) est une opération dont les termes sont \(14,\!4\) et \(4,\!2\) et la somme \(18,\!6\) car \(14,\!4 + 4,\!2 = 18,\!6 \).
• \(20, 100,\!2\) et \(31\) sont les termes de la somme \(20+100,\!2+31\).

Remarque: on parle des termes d'une opération pour l'addition mais aussi pour la soustraction.

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Propriétés

Changer l'ordre des termes d'une somme ne modifie pas le résultat de l'addition.
Regrouper les termes d'une somme ne modifie pas le résultat de l'addition.

Exemples

• \( 4,\!3 + 8 + 5,\!7 = 4,\!3 + 5,\!7 + 8 = 5,\!7 + 4,\!3 + 8 = 18\) : le résultat de l'addition est le même quelque soit l'ordre des termes de la somme.
• \( 4,\!3 + 8 + 5,\!7 = (4,\!3 + 5,\!7) + 8 = 10 + 8 = 18 \). On peut regrouper les termes \(4,\!3 \) et \( 5,\!7\) sans changer le résultat de l'addition.

Changer l'ordre des termes et les regrouper permet souvent de simplifier le calcul du résultat.

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Méthode de calcul

L'addition posée permet de calculer la somme de plusieurs nombres décimaux, comme tu l'as déjà vu à l'école. Trois points sont important:

• Il faut placer les chiffres des unités les uns en dessous des autres, puis les chiffres de chaque rangs les uns en dessous des autres.
• Il faut commencer le calcul par la colonne la plus à droite de l'addition posée.
• Il ne faut pas oublier les retenues!

Exemple

Pour additionner \(125,\!1\) et \(78,\!079\) on pose l'addition en alignant les chiffres des unités \(5\) et \(8\):

	1	1	1					Tu alignes le chiffre des unités et donc la virgule. Tu calcules les sommes de droite à gauche : 0+9, puis 0+7, puis 3+8 avec une retenue 1 Tu prends en compte les retenues : 1+5+8 = 14.. Tu mets la virgule du résultat.
	1	2	5	,	3
+		7	8	,	8	7	9
	2	0	4	,	1	7	9

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Définitions

Une soustraction est une opération qui calcule la différence entre deux nombres.
Les nombres utilisés s'appellent des termes.
Le résultat d'une soustraction s'appelle une différence.
Par exemple, la différence de \(14,\!4\) et \(4,\!2\) est \(10,\!2\) car \( 14,\!4 - 4,\!2 = 10,\!2\). \(14,\!4\) et \(4,\!2\) sont les termes de la différence \( 14,\!4 - 4,\!2 \).
Attention: on ne peut pas modifier l'ordre des termes d'une soustraction.
Remarque:

• On parle des termes d'une opération pour l'addition mais aussi pour la soustraction.
• En sixième, on soustrait le plus petit nombre au plus grand. Tu verras à partir de la cinquième qu'on peut aussi soustraire un plus grand nombre d'un plus petit.

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Méthode de calcul

La soustraction posée permet de calculer la différence de deux nombres décimaux, comme tu l'as déjà vu à l'école. Quatre points sont important:

• Il faut placer les chiffres des unités les uns en dessous des autres, puis les chiffres de chaque rangs les uns en dessous des autres.
• Tu rajoutes des zéros à droite si le premier nombre à moins de décimales que le deuxième.
• Il faut commencer le calcul par la colonne la plus à droite de l'addition posée.
• Il ne faut pas oublier les retenues!

Exemple

Pour soustraire \(125,\!1\) de \(78,\!079\) on pose la soustraction en alignant les chiffres des unités \(5\) et \(8\):

	1	12	15	,	13	10	10	Tu alignes le chiffre des unités et donc la virgule. Tu rajoutes deux zéros à 125,3 pour avoir autant de décimales que 78,879 Tu calcules les différences de droite à gauche, en ajoutant des retenues si nécessaires. Tu mets la virgule du résultat.
-	1+	1+7	1+8	,	1+8	1+7	9
	0	4	6	,	4	2	1

La soustraction ci-dessous se lit ainsi en commençant par la colonne la plus à droite:

• Colonne des millièmes: 0-9 est impossible, donc je pose une retenue; 10-9 = 1.
• Colonne des centièmes: 0-8 est impossible (j'ai pris en compte la retenue), donc je pose une autre retenue; 10-8 = 2.
• Colonne des dixièmes: 3-9 est impossible, donc je pose une  retenue; 13-9 = 4.
• Colonne des unités: 5-9 est impossible, donc je pose une retenue: 15-9 = 6. Je n'oublie pas de mettre la virgule.
• Colonne des dizaines: 2-8 est impossible, donc je pose une retenue: 12-8=4.
• Colonne des centaines: 1-1=0. Le résultat est 46,421.

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Définition - inégalité

Pour comparer deux nombres décimaux, on utilise les signes < et >.

• \(<\) se lit "est plus petit que" ou "est inférieur à"
• \(>\) se lit "est plus grand que" ou "est supérieur à"

On utilise les signes \(<\) ou \(>\) pour écrire une inégalité.

Exemples

• L'inégalité \( 14 < 20 \) se lit "14 est plus petit que 20" ou "14 est inférieur à 20"
• L'inégalité \( 20 > 14\) se lit "20 est plus grand que 14" ou "20 est supérieur à 14"

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Comparer deux nombres décimaux

Méthode

Pour comparer deux nombres décimaux, on compare d'abord la partie entière des deux nombres : le plus grand des deux nombres est celui qui a la plus grande partie entière:
\( 5,\!43 > 4,\!82 \) car \(5 > 4\).
\(18,\!01 > 17,\!9 \) car \(18 > 17\).
Si les deux nombres ont la même partie entière, on compare la partie décimale des deux nombres: le plus grand des deux nombres est celui qui a la plus grande partie décimale:
\(5,\!10 > 5,\!06\) car \(0,\!10 > 0,\!06\)
\(17,\!6 > 17,\!139\) car \(0,\!6 > 0,\!139\)

Comparer les parties décimales

Pour ne pas te tromper quand tu compares les parties décimales, écris les parties décimales avec le même nombre de chiffres:
Pour comparer \(15,\!8\) et \(15,\!26\), tu écris \(15,\!8=15,\!80\). Tu compares quinze et quatre-vingt centièmes à quinze et vingt-six centièmes : \(15,\!80 > 15,\!26 \).
Tu peux aussi placer les deux nombres sur la demi-règle graduée : le nombre le plus grand est celui qui est le plus à droite.

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Ordonner des nombres décimaux

• Ordonner des nombres décimaux dans l'ordre croissant, c'est les ranger du plus petit au plus grand.
• Ordonner des nombres décimaux dans l'ordre décroissant, c'est les ranger du plus grand au plus petit.

Exemples

• Les nombres \( 0,\!9 < 1,\!8 < 1,\!801 < 100 < 105,\!4 \) sont ordonnés dans l'ordre croissant.
• les nombres \(74,\!8 > 71,\!4 > 58,\!04 > 12,\!8 \) sont ordonnés dans l'ordre décroissant.