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Définitions et propriétés


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Multiplication et division


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Simplification


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Les fractions - Leçon 1 : Définitions et propriétés


Définition

Une écriture fractionnaire est une écriture de la forme : \[ \dfrac{5,\!3}{12,\!6} \] On lit cette écriture "5,3 sur 12,6".

La barre de fraction sépare le numérateur, au dessus de la barre de fraction, du dénominateur, en dessous de la barre de fraction:

Définition d'une écriture fractionnaire


Exemples

\( \dfrac{3}{5}, \dfrac{43}{2,\!5}, \dfrac{8,\!9}{100} \) sont des écritures fractionnaires.

Remarque

L'écriture fractionnaire est une extension des fractions vues en CM2 aux nombres décimaux.

Le plus important

Il ne faut pas confondre le numérateur et le dénominateur.



Définition

La fraction d'une quantité est la multiplication de cette quantité par une fraction.

Exemples

Un tiers de \(200\) est égal à \( \dfrac{1}{3} \times 200 \).

Les trois quarts de \(5\) est égal à \( \dfrac{3}{4} \times 5 \).

Remarque

Tu verras trois méthodes pour calculer la fraction d'une quantité.

Propriété

Quel que soit le nombre \( a \), \( \dfrac{a}{1} = a \).

Exemples

\[ \begin{align} \dfrac{4}{1} &= 4 \\ \dfrac{3,\!2}{1}&=3,\!2 \\ \dfrac{987}{1}&=987 \\ \end{align} \]

Propriété

Pour tout nombre \( a \) non nul, \( \dfrac{a}{a} = 1 \).

Exemples

\[ \begin{align} \dfrac{4}{4}& = 1 \\ \dfrac{6,\!5}{6,\!5} &=1 \\ \dfrac{1002}{1002}&=1 \\ \end{align} \]

Important

On ne peut pas faire cette simplification si on ne sait pas si \(a \) est différent de zéro.



Propriétés

Soit \( a \) et \( b \) deux entiers, avec b non nul ( \( b \ne 0 \) ):
  • La fraction \( \dfrac{a}{b} \) est inférieure à 1 si \( a < b \)
  • La fraction \( \dfrac{a}{b} \) est supérieure à 1 si \( a > b \)

Exemples

  • \( \dfrac{4}{1} > 1 \) car \( 4 > 1 \)
  • \( \dfrac{1}{3} < 1 \) car \( 1 < 3 \)
  • \( \dfrac{928}{929} < 1 \) car \( 928 < 929 \)

Important

Le dénominateur \( b \) d'une fraction \( \dfrac{a}{b} \) doit toujours être différent de zéro, sinon la fraction n'est pas définie et les propriétés ne s'appliquent pas!




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Les fractions - Leçon 2 : Multiplication et division


Propriété

En multipliant le numérateur et le dénominateur d'une écriture fractionnaire \(\dfrac{a}{b}\) par un nombre \( c \) non nul on obtient une écriture fractionnaire qui lui est égale :

\[ \dfrac {a}{b} = \dfrac{a \times c }{ b \times c } \]

Exemples

  • \( \dfrac {2}{3} = \dfrac{2 \times 10}{3 \times 10} = \dfrac{20}{30} \)
  • \( \dfrac {0,\!1}{3} = \dfrac {0,\!1 \times 10 }{3 \times 10} = \dfrac {1}{30} \)
  • \( \dfrac {27}{9} = \dfrac{3\times 9}{1 \times 9} = \dfrac{3}{1} = 3 \)

\( 1 \) part d'un gâteau coupé en \( 4 \) parts égales est égale à \( 2 \) parts d'un gâteau coupé en \( 8 \) parts égales. On a bien : \( \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{2}{8} \).

Un quart égale deux huitièmes.

Attention

N'oublie pas que le nombre \( c \) doit être différent de zéro, sinon la propriété n'est pas valable.



Propriété

En divisant le numérateur et le dénominateur d'une écriture fractionnaire \(\dfrac{a}{b}\) par un nombre \( c \) non nul on obtient une écriture fractionnaire qui lui est égale :

\[ \dfrac{a \div c }{ b \div c } = \dfrac {a}{b} \]

Exemples

  • \( \dfrac {20}{30} = \dfrac{20 \div 10}{30 \div 10} = \dfrac{2}{3} \)
  • \( \dfrac {27}{9} = \dfrac{27 \div 9}{9 \div 9} = \dfrac{3}{1} = 1 \)
  • \( \dfrac {12}{8} = \dfrac {12 \div 4 }{8 \div 4} = \dfrac {3}{2} \)

Attention

N'oublie pas que le nombre \( c \) doit être différent de zéro, sinon la propriété n'est pas valable.



Méthodes

Il existe trois méthodes pour calculer la fraction \( \dfrac{a}{b} \) d'un nombre \( c \), c'est  à dire \( \dfrac{a}{b} \times c \) :

  • Méthode 1: en calculant d'abord la fraction, puis en multipliant par le nombre \( c \) : \[ \dfrac{a}{b} \times c = (a \div b) \times c \]
  • Méthode 2: en multipliant le numérateur \( a \) et le nombre  \( c \), puis en divisant par \( b \) : \[ \dfrac{a}{b} \times c = \dfrac { a \times c }{b} \]
  • Méthode 3: en calculant la fraction \( \dfrac{c}{b} \) puis en multipliant par  \( a \): \[ \dfrac{a}{b} \times c = a \times \dfrac {c}{b} \]

Avant de faire un calcul, il faut réfléchir pour trouver la méthode la plus simple à utiliser.

Exemples

Méthode 1 : \( \dfrac{3}{6} \times 7 = 0,\!5 \times 7 = 3,\!5 \). On calcule d'abord la fraction \( \dfrac{3}{6} = 0,\!5 \) puis on multiplie par \(7\).

Méthode 2 : \( \dfrac{10}{3} \times 0,\!6 = \dfrac{10 \times 0,\!6}{3} = \dfrac {6}{3} = 2 \). On calcule d'abord le produit \( 10 \times 0,\!6 = 6 \) puis on divise le résultat \( 6 \) par \(3\).

Méthode 3 : \( \dfrac{5}{7} \times 21 = 5 \times \dfrac{21}{7} = 5 \times 3 = 15 \). On calcule d'abord la fraction \( \dfrac{21}{7} = 3 \) puis on multiplie le résultat \( 3 \) par \(5\).

Choisir la bonne méthode

Les trois méthodes sont basées sur les égalités suivantes: \[ \dfrac{a}{b} \times c = \dfrac{ a \times c }{b} = a \times \dfrac{c}{b} \]

Pour choisir la bonne méthode

  • Tu écris les trois expressions \(\dfrac{a}{b} \times c = \dfrac{ a \times c }{b} = a \times \dfrac{c}{b},\)
  • Tu choisis l'expression avec la division la plus simple à calculer parmi \(\dfrac{a}{b}\), \(\dfrac{a\times c}{b}\) ou \( \dfrac{c}{b}.\)



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Les fractions - Leçon 3 : Simplification


Définition

Simplifier une fraction, c'est trouver une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petit:

\[\dfrac{14}{20}=\dfrac{14 \div 2}{20 \div 2} = \dfrac{7}{10}\]

On dit qu'on a simplifié par \( 2 \) la fraction \( \dfrac{14}{20} \). On peut aussi écrire la transformation ainsi:

\[\dfrac{14}{20}=\dfrac{2 \times 7}{2 \times 10} = \dfrac{7}{10}\]

Choisis l'écriture que tu trouves la plus simple pour tes calculs.

Important

Quand on te demande de simplifier une fraction, il faut toujours chercher à simplifier le plus possible la fraction, pour trouver la fraction la plus simple.

Méthode

Pour simplifier une fraction, on cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur de la fraction, et on utilise la propriété:

En divisant le numérateur et le dénominateur d'une écriture fractionnaire \( \dfrac{a}{b} \) par un nombre \(c\) non nul on obtient une écriture fractionnaire qui lui est égale.

Exemple

Pour simplifier \( \dfrac{35}{14} \):

  • On cherche les diviseurs de \(35\). On trouve \(5\) et \(7\) puisque \( 5 \times 7 = 35 \).
  • On cherche les diviseurs de \( 14 \). On trouve \(2\) et \( 7 \) puisque \( 14 = 2 \times 7 \).
  • On cherche un diviseur en commun pour \(35\) et \(14\) : on trouve \( 7 .\)
  • On simplifie la fraction par \(7\): \( \dfrac{35}{14} = \dfrac{35 \div 7}{14 \div 7} = \dfrac{5}{2} \)
  • On peut aussi écrire: \( \dfrac{35}{14} = \dfrac{7 \times 5}{7 \times 2} = \dfrac{5}{2} \)


Méthode - Écriture fractionnaire en fraction

Pour transformer une écriture fractionnaire en fraction tu multiplies le numérateur et le dénominateur de l'écriture fractionnaire par un même nombre \(10, 100\) ou \(1\,000\) afin d'obtenir un entier au numérateur et au dénominateur:

\(\dfrac{3,\!5}{7,\!2}=\dfrac{3,\!5 \times 10}{7,\!2 \times 10} = \dfrac{35}{72}:\) On a transformé l'écriture fractionnaire \(\dfrac{3,\!5}{7,\!2}\) en la fraction \(\dfrac{35}{72}.\)

Remarque

On utilise la propriété :

En multipliant le numérateur et le dénominateur d'une écriture fractionnaire \(\dfrac{a}{b}\) par un nombre \( c \) non nul on obtient une écriture fractionnaire qui lui est égale :

\[ \dfrac{a \times c }{ b \times c } = \dfrac {a}{b} \]

Exemples

\(\dfrac{12}{8,\!5} = \dfrac{12\times 10}{8,\!5 \times 10}=\dfrac{120}{85}:\) il faut un entier au numérateur ET au dénominateur.

\(\dfrac{0,\!4}{1,\!34} = \dfrac{0,\!4 \times 100}{1,\!34 \times 100} = \dfrac{40}{134}:\) attention : il faut multiplier par le même nombre au numérateur et au numérateur. Ici on multiple \(0,\!4\) par \(100\) et non par \(10\) car on doit multiplier le dénominateur par \(100\) pour transformer \(1,\!34\) en entier.